5-6 Esboce várias curvas de nível da função.
(f(x, y)=e^{x}+y)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar as curvas de nível da função
f(x,y)=e^{x}+y.
Esse assunto faz parte de funções de duas variáveis, em que cada curva de nível é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=c para algum valor constante c.

Passo 2

Para um nível c arbitrário, escrevemos
e^{x}+y = c
e isolamos y:
y = c - e^{x}.

Passo 3

A família y = c - e^{x} é obtida a partir da curva básica y = -e^{x} transladada verticalmente em c. Observe que:
  • Quando x \to -\infty, tem-se e^{x}\to 0 e y\to c.
  • Quando x \to +\infty, tem-se e^{x}\to +\infty e y\to -\infty.
  • Cada curva é estritamente decrescente e convexa.

Passo 4

Escolhendo alguns valores de c para desenhar, por exemplo
c=-1,\quad c=0,\quad c=1,\quad c=2,
temos as curvas
y = -1 - e^{x},\quad y = -e^{x},\quad y = 1 - e^{x},\quad y = 2 - e^{x}.
No esboço, cada uma delas aproxima-se da reta horizontal y=c para x muito negativo e cai rapidamente para -\infty conforme x cresce.

Passo 5

Note que curvas com valores de c distintos nunca se cruzam: curvas de nível diferentes ficam separadas verticalmente. À medida que c aumenta, toda a curva se desloca para cima.

Resposta

As curvas de nível de f(x,y)=e^{x}+y são
y = c - e^{x},\quad c\in\mathbb{R},
por exemplo, para c=-1,0,1,2:
y=-1-e^{x},\;y=-e^{x},\;y=1-e^{x},\;y=2-e^{x},
cada uma sendo uma exponencial decrescente transladada verticalmente.

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