5-6 Esboce várias curvas de nível da função.
(f(x, y)=e^{x}+y)
(f(x, y)=e^{x}+y)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar as curvas de nível da função
Esse assunto faz parte de funções de duas variáveis, em que cada curva de nível é o conjunto de pontos
tais que
para algum valor constante
.
Passo 2
Para um nível
arbitrário, escrevemos
e isolamos
:
Passo 3
A família
é obtida a partir da curva básica
transladada verticalmente em
. Observe que:
- Quando
, tem-se e . - Quando
, tem-se e . - Cada curva é estritamente decrescente e convexa.
Passo 4
Escolhendo alguns valores de
para desenhar, por exemplo
temos as curvas
No esboço, cada uma delas aproxima-se da reta horizontal
para
muito negativo e cai rapidamente para
conforme
cresce.
Passo 5
Note que curvas com valores de
distintos nunca se cruzam: curvas de nível diferentes ficam separadas verticalmente. À medida que
aumenta, toda a curva se desloca para cima.
Resposta
As curvas de nível de
são
por exemplo, para
:
cada uma sendo uma exponencial decrescente transladada verticalmente.