9-10 Calcule o limite ou mostre que ele não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x y}{x^{2}+2 y^{2}}\\\

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{2xy}{x^{2}+2y^{2}},
que envolve limite de função de duas variáveis. Para verificar se esse limite existe, usaremos o teste de diferentes caminhos de aproximação.

Passo 2

Considere o caminho reto definido por y=kx, com k\in\mathbb{R}. Substituindo em \displaystyle f(x,y)=\frac{2xy}{x^{2}+2y^{2}}, temos
f(x,kx) =\frac{2x\,(kx)}{x^{2}+2(kx)^{2}} =\frac{2k\,x^{2}}{x^{2}(1+2k^{2})} =\frac{2k}{1+2k^{2}}.

Passo 3

No limite x\to0 ao longo de y=kx, f(x,kx) tende a
\frac{2k}{1+2k^{2}}.
Esse valor depende de k. Por exemplo, para k=0 (eixo x) obtemos 0, e para k=1 (reta y=x) obtemos \tfrac{2}{3}.

Passo 4

Como o valor do limite varia com o caminho escolhido (ou seja, depende de k), concluímos que o limite não é único.

Resposta

O limite não existe.

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