Calcule o menor número natural de:
14 divisores;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o menor número natural cujo número de divisores positivos seja 14.
O que precisamos usar é a fórmula da função divisor: se
n = p1^alpha1,p2^alpha2cdots pk^alphak,
então o número de divisores de n é
d(n) = (alpha1+1),(alpha2+1)cdots(alphak+1)

Passo 2

Queremos d(n)=14. Logo precisamos fatorar 14 como produto de inteiros maiores que zero, cada um igual a alphai+1. As fatorações de 14 são
14 = 14, 14 = 7times 2, 14 = 2times 7
Isto gera três padrões de expoentes:
  1. Um único primo com alpha1+1=14, ou seja alpha1=13.
  2. Dois primos com (alpha1+1,alpha2+1)=(7,2), ou seja (alpha1,alpha2)=(6,1).
  3. Dois primos com (alpha1+1,alpha2+1)=(2,7), ou seja (alpha1,alpha2)=(1,6).

Passo 3

Agora construímos o menor n em cada caso, usando os menores primos 2,3,dots:
Caso alpha1=13:
n = 2^13 = 8192
Caso (alpha1,alpha2)=(6,1), tomando p1=2 e p2=3:
n = 2^6times 3^1 = 64 times 3 = 192
Caso (alpha1,alpha2)=(1,6), tomando p1=2 e p2=3:
n = 2^1times 3^6 = 2 times 729 = 1458

Passo 4

Comparando os valores obtidos em cada caso, o menor é
192

Resposta

192

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