Calcule o número de divisores positivos de 1^3+2^3+3^3+cdots+18^3+19^3+20^3.

Passo 1

O enunciado pede o número de divisores positivos de
1^3+2^3+cdots+20^3.
O conteúdo é a fórmula da soma dos n primeiros cubos e depois usamos fatoração e contagem de divisores.

Passo 2

Sabemos que
sumk=1^nk^3 = l(n(n+1)2r)^2
Para n=20 isso dá
sumk=1^20k^3 = l(20cdot212r)^2 = 210^2 = 44100

Passo 3

Agora fatoramos 44100. Como 210 = 2cdot3cdot5cdot7, temos
44100 = 210^2 = 2^2cdot3^2cdot5^2cdot7^2

Passo 4

Para um número
N = p1^a1cdots pr^ar,
o total de divisores positivos é
(a1+1)cdots(ar+1).
Aqui todos os expoentes são 2 e há 4 fatores primos, logo
(2+1)^4 = 3^4 = 81

Resposta

81

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