Calcule o perímetro da base de um prisma hexagonal regular, sabendo que o prisma é equivalente a um cubo de aresta a, cuja diagonal tem medida igual à altura do prisma.

Passo 1

O enunciado dá um prisma hexagonal regular de base lado s e altura h, cujo volume é igual ao volume de um cubo de aresta a. Além disso, a altura do prisma coincide com a diagonal do cubo.
Conteúdos necessários:
  • Volume do cubo.
  • Fórmula da diagonal do cubo.
  • Área de um hexágono regular de lado s.
  • Volume do prisma (área da base vezes altura).

Passo 2

O volume do cubo de aresta a é
Vcubo = a^3

Passo 3

A diagonal do cubo (que será a altura h do prisma) vale
h = araiz3

Passo 4

A área da base do prisma, que é um hexágono regular de lado s, é
Abase = 3raiz32,s^2
Logo, o volume do prisma é
Vprisma = Abasecdot h = 3raiz32,s^2 ;cdot; h

Passo 5

Igualando os volumes ( Vprisma = Vcubo) e substituindo h = araiz3, temos
3raiz32,s^2 ;cdot; araiz3 = a^3
Como raiz3cdotraiz3=3, vem
3cdot 32;a,s^2 = a^3 Longrightarrow 92,a,s^2 = a^3
Dividindo por a e isolando s^2:
s^2 = 29,a^2 Longrightarrow s = araiz23

Passo 6

O perímetro da base (hexágono regular) é P = 6s. Substituindo s:
P = 6 cdot araiz23 = 2,araiz2

Resposta

P = 2,araiz2

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