A seção reta de um prisma oblíquo é um losango, cujas diagonais são diretamente proporcionais a 3 e 4. Calcule a área lateral do prisma, sabendo que sua aresta lateral mede 10 cm e que a área de sua seção reta é igual a 54 cm^2.

Solução

Sendo B a área, ell o lado, d e D as diagonais do losango, temos:

lD4=d3=k B=54 cdot B=D cdot d2 Rightarrow 4 k cdot 3 k2=54 Rightarrow k=3
ell^2=(D2)^2+(d2)^2 Rightarrow ell^2=4 k^2+94 k^2=25 k^24 Rightarrow ell=5 k2
ell=5 k2 Rightarrow ell=5 cdot 32 Rightarrow ell=152.
Sendo Aell a área lateral, temos:
Aell=4 cdot(ell cdot a) Rightarrow Aell=4 cdot 152 cdot 10 Rightarrow Aell=300.

Passo 1

O enunciado diz que temos um prisma oblíquo cuja seção reta perpendicular às arestas laterais é um losango de área 54,cm ^2. As diagonais desse losango são diretamente proporcionais a 3 e 4. A aresta lateral do prisma mede 10,cm. Precisamos achar a área lateral do prisma.

Passo 2

Sejam D e d as diagonais do losango e k>0 o fator de proporcionalidade. Como são diretamente proporcionais a 4 e 3, podemos escrever
D = 4k, d = 3k

Passo 3

A área B de um losango em função das diagonais é
B = Dcdot d2
Como B=54,cm ^2, temos
(4k),(3k)2 = 54 Longrightarrow 6k^2 = 54 Longrightarrow k^2 = 9 Longrightarrow k = 3

Passo 4

Agora D = 4cdot3 = 12,cm e d = 3cdot3 = 9,cm. O lado ell do losango se obtém aplicando Pitágoras num dos quatro triângulos retângulos formados pelas metades das diagonais:
ell^2 = l(D2r)^2 + l(d2r)^2 = (2k)^2 + l(tfrac3k2r)^2 = 4k^2 + tfrac9k^24 = 25k^24
Como k=3,
ell = 5k2 = 5cdot32 = 152 = 7,5 cm

Passo 5

Em qualquer prisma (reto ou oblíquo), cada face lateral é um paralelogramo cujos lados são a aresta lateral a e um lado da base ell. A área de cada face lateral é acdotell, e há quatro faces. Logo, a área lateral Aell do prisma é
Aell = perímetro da basetimes a = 4,ell times a í
Substituindo ell = 7,5,cm e a=10,cm,
Aell = 4 times 7,5 times 10 = 300 cm^2

Resposta

A área lateral do prisma é 300,cm ^2.

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