Calcule as primeiras quatro derivadas de y=e^x^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as primeiras quatro derivadas da função
y = e^x^2
Aqui vamos usar principalmente a regra da cadeia (para derivar e^u) e a regra do produto (quando tivermos um produto de funções).

Passo 2

Para encontrar a primeira derivada, aplicamos a regra da cadeia a
y = e^x^2
Temos u(x)=x^2 e l(e^ur)'=e^u,u'. Logo,
y' = ddxe^x^2 = e^x^2cdotddx(x^2) = 2x,e^x^2

Passo 3

Para a segunda derivada, derivamos
y' = 2x,e^x^2
usando a regra do produto: se f=2x e g=e^x^2, então
(fg)' = f',g + f,g'
Aqui f'=2 e g'=2x,e^x^2. Logo,
y'' = 2,e^x^2 + 2x,(2x,e^x^2) = l(2 + 4x^2r)e^x^2

Passo 4

Para a terceira derivada, derivamos
y'' = l(4x^2 + 2r)e^x^2
novamente por produto, com f=4x^2+2 e g=e^x^2. Então f'=8x e g'=2x,e^x^2, resultando em
y''' = 8x,e^x^2 + l(4x^2+2r),(2x,e^x^2) = l(8x^3 + 12xr)e^x^2

Passo 5

Para a quarta derivada, partimos de
y''' = l(8x^3 + 12xr)e^x^2
e aplicamos produto outra vez, com f=8x^3+12x ( f'=24x^2+12) e g=e^x^2 ( g'=2x,e^x^2). Assim,
y'''' = (24x^2+12),e^x^2 + l(8x^3+12xr),(2x,e^x^2) = l(16x^4 + 48x^2 + 12r)e^x^2

Resposta

y' = 2x,e^x^2
y'' = (4x^2 + 2),e^x^2
y''' = (8x^3 + 12x),e^x^2
y'''' = (16x^4 + 48x^2 + 12),e^x^2

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