Calcule o raio, a altura e a área total de um cilindro circular reto que tem volume igual ao de um cubo de aresta a e área lateral igual à área da superfície do cubo.

Solução

& V cilindro =V cubo Rightarrow pi r^2 h=a^3 (1) & Aell cilindro =A tcubo Rightarrow 2 pi r h=6 a^2 Rightarrow pi r h=3 a^2
(1) div(2) Rightarrow r=13 a
Substituindo em (2): pi 13 ah=3 a^2 Rightarrow h=9pi a.
Área total: At=Aell+2 B.
At=6 a^2+2 pi cdot 19 a^2 Rightarrow At=54 a^2+2 pi a^29 Rightarrow At=29(27+pi) a^2

Passo 1

O enunciado trata de geometria de sólidos: temos um cilindro circular reto e um cubo de aresta a. O volume do cilindro pi r^2 h deve ser igual ao volume do cubo a^3 e a área lateral do cilindro 2pi r h deve ser igual à área total do cubo 6a^2. Vamos usar as fórmulas de volume e área lateral do cilindro e, depois, calcular a área total do cilindro.

Passo 2

Escrevemos as duas condições em forma de equação:
pi r^2 h = a^3
2pi r h = 6a^2

Passo 3

Para encontrar r, dividimos a primeira equação pela segunda, o que cancela pi e h:
pi r^2 h2pi r h = a^36a^2 Longrightarrow r2 = a6 Longrightarrow r = a3

Passo 4

Substituindo r=tfraca3 na equação da área lateral
2pi a3 ,h = 6a^2
simplificando em a e isolando h, obtemos
h = 6a^2cdot32pi a = 9api

Passo 5

A área total do cilindro é a soma da área lateral e de duas bases:
At = 2pi r h + 2pi r^2
Como 2pi r h = 6a^2 e 2pi r^2 = 2pil(tfraca3r)^2 = 2pi a^29, segue
At = 6a^2 + 2pi a^29 = 54a^2 + 2pi a^29 = 29(27 + pi),a^2

Resposta

r = a3
h = 9api
At = 29(27 + pi),a^2

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