Calcule os seguintes limites:
(a) lim n infty(1+14 n+2)^4 n+9;

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limntoinftyl(1+14n+2r)^4n+9
Isso é um caso clássico de limite envolvendo a definição do número e, que surge sempre que vemos expressões do tipo l(1+tfrac1mnr)^mn com mntoinfty.

Passo 2

Observe que o expoente 4n+9 pode ser escrito como (4n+2)+7. Assim,
l(1+14n+2r)^4n+9 = l(1+14n+2r)^4n+2 ;times; l(1+14n+2r)^7

Passo 3

Defina mn=4n+2. Então mntoinfty quando ntoinfty e o primeiro fator fica
l(1+1mnr)^mn
que, pela definição clássica, converge para e.

Passo 4

O segundo fator é
l(1+14n+2r)^7
Como tfrac14n+2to0, temos 1+tfrac14n+2to1 e portanto
l(1+14n+2r)^7;longrightarrow;1^7=1

Passo 5

Multiplicando os dois resultados,
limntoinftyl(1+14n+2r)^4n+9 = e;times;1 = e

Resposta

e

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