Calcule os seguintes limites:
(b) lim n infty(1+1n)^n-2;

Passo 1

O enunciado nos pede calcular o limite
limntoinftyl(1+1nr)^n-2
Este é um caso clássico de sequência exponencial. Vamos usar que
limntoinftyl(1+1nr)^n=e
e as propriedades de limites de produtos.

Passo 2

Reescrevemos a potência separando o expoente:
l(1+1nr)^n-2 = l(1+1nr)^n ;cdot; l(1+1nr)^-2

Passo 3

Calculamos o limite de cada fator. Primeiro, pela definição de e:
limntoinftyl(1+1nr)^n=e
Depois, como limntoinfty(1+1/n)=1, temos
limntoinftyl(1+1nr)^-2 =l(limntoinfty(1+tfrac1n)r)^-2 =1^-2 =1

Passo 4

Pela propriedade de limite de produto, o limite da sequência é
limntoinftyl(1+1nr)^n-2 = ecdot1 = e

Resposta

e

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