Ex. 8.28 - Calcule os seguintes limites:
lim n infty tan (1 / 7 n)tan (1 / 3 n)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limn to infty tanl(tfrac17nr)tanl(tfrac13nr)
O conteúdo principal é o comportamento de tan(x) quando xto0, usando que tan(x)sim x.

Passo 2

Lembrando do limite fundamental para a função tangente em zero, temos
limxto0tan(x)x=1
Como ntoinfty faz com que tfrac17nto0 e tfrac13nto0, podemos aplicar essa aproximação.

Passo 3

Reescrevemos a razão de forma a destacar fatores que tendem a 1:
tanl(tfrac17nr)tanl(tfrac13nr) = tanl(tfrac17nr)tfrac17n ;times; tfrac17ntfrac13n ;times; tfrac13ntanl(tfrac13nr)

Passo 4

Pelo limite da tangente, os fatores
dfractan(tfrac17n)tfrac17n e
dfractfrac13ntan(tfrac13n) vão para 1 quando ntoinfty.
O fator do meio é
tfrac17ntfrac13n = 17n;times;3n1 = 37
Portanto o limite vale tfrac37.

Resposta

37

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