Ex. 8.13 - Sejam dadas as sequências
an=n^2, bn=-n^3, cn=raizn dn=(-1)^n n, en=n+(-1)^n n
Em cada caso abaixo, determine para quais valores de n vale
en>10

Passo 1

O enunciado fornece cinco sequências definidas por
an=n^2, bn=-n^3, cn=raizn, dn=(-1)^nn, en=n+(-1)^nn,
todas iniciando em n=1,2,3,dots. Em cada caso queremos achar os valores de n tais que o termo da sequência seja maior que 10, ou seja,
encontrar ninN tais que xn>10,
onde xn é cada sequência.

Passo 2

Analisamos an=n^2. A desigualdade
n^2>10
é equivalente a
n>raiz10approx3,16
Como n é natural, isso significa
n>=4

Passo 3

Analisamos bn=-n^3. A desigualdade
-n^3>10
implica
n^3< -10,
o que não ocorre para ninN (pois n^3>=1). Logo não há solução em naturais.

Passo 4

Analisamos cn=raizn. A desigualdade
raizn>10
implica
n>100
Em inteiros positivos, isso dá
n>=101

Passo 5

Analisamos dn=(-1)^nn. Para n ímpar, (-1)^n=-1 e dn=-n<=-1, jamais maior que 10. Para n par, (-1)^n=1 e dn=n, exigindo
n>10
Assim, em pares, n=12,14,16,dots.

Passo 6

Analisamos en=n+(-1)^nn=nl(1+(-1)^nr).
Se n é ímpar, (-1)^n=-1 e en=0.
Se n é par, (-1)^n=1 e en=2n, exigindo
2n>10Longrightarrow n>5
Logo n par e n>=6, ou seja n=6,8,10,12,dots.

Resposta

a) an>10 para n>=4.
b) bn>10 não ocorre para ninN.
c) cn>10 para n>=101.
d) dn>10 para n par e n>=12.
e) en>10 para n par e n>=6.

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