Ex. 8.28 - Calcule os seguintes limites:
lim n infty (3+1n)^2-3^21n

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
limntoinftyl(3+1nr)^2-3^21n
Este tipo de limite é um quociente de diferenças que aparece ao calcular a derivada de f(x)=x^2 em x=3, mas podemos resolvê-lo de modo direto usando manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro, expandimos o quadrado l(3+1nr)^2. Temos
l(3+tfrac1nr)^2 =9+2cdot3cdottfrac1n+tfrac1n^2 =9+6tfrac1n+tfrac1n^2
Logo,
l(3+tfrac1nr)^2-3^2 =6tfrac1n+tfrac1n^2

Passo 3

Substituindo essa expressão no quociente do limite, obtemos
l(3+tfrac1nr)^2-3^2tfrac1n =6tfrac1n+tfrac1n^2tfrac1n
Agora simplificamos dividindo numerador e denominador por tfrac1n:
6tfrac1n+tfrac1n^2tfrac1n =6+tfrac1n

Passo 4

Basta calcular o limite de 6+tfrac1n quando ntoinfty:
limntoinftyl(6+tfrac1nr) =6+0 =6

Resposta

6

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