Ex. 8.28 - Calcule os seguintes limites:
lim n infty raiz2 n^23 n^2+1

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite da sequência
an = raiz2n^23n^2 + 1
quando ntoinfty. O conteúdo envolve manipulação algébrica de limites e uso da continuidade da função raiz quadrada.

Passo 2

Fatoramos n^2 dentro da fração para simplificar a expressão:
2n^23n^2+1 = n^2cdot 2n^2cdotl(3 + tfrac1n^2r) = 23 + tfrac1n^2
Logo,
an = raiz2n^23n^2+1 = raiz23 + tfrac1n^2

Passo 3

Observamos que
limntoinfty1n^2=0,
então dentro da raiz
limntoinfty23 + tfrac1n^2 = 23 + 0 = 23

Passo 4

Como a função xmapstoraizx é contínua em [0,infty), podemos levar o limite para dentro da raiz:
limntoinftyan = raizlimntoinfty23 + tfrac1n^2 = raiz23

Resposta

limntoinftyraiz2n^23n^2+1 = raiz23

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