Ex. 8.15 - Em cada caso abaixo, determine m in N^* de modo que
e^n>10^4, para todo n >= m.

Passo 1

O enunciado pede para achar o menor inteiro positivo m tal que
e^n > 10^4para todo n >= m
O conteúdo usado aqui é a resolução de inequações exponenciais usando logaritmo natural, já que a função nmapsto e^n é crescente.

Passo 2

Começamos aplicando o logaritmo natural (que é estritamente crescente) na desigualdade
e^n > 10^4
Isso nos dá
lnl(e^nr) > lnl(10^4r)Longrightarrow n > lnl(10^4r)

Passo 3

Calculamos o logaritmo do lado direito usando a propriedade ln(a^b)=bln(a):
lnl(10^4r)=4,ln(10)
Sabendo que ln(10)approx2,3026, obtemos
lnl(10^4r)approx4times2,3026=9,2104

Passo 4

Então a desigualdade vira
n > 9,2104
Como n deve ser um número natural (e queremos o menor inteiro m que satisfaça isso para todo n>= m), escolhemos
m = 10

Resposta

O menor minN^* é m = 10.

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