Ex. 8.13 - Sejam dadas as sequências
an=n^2, bn=-n^3, cn=raizn dn=(-1)^n n, en=n+(-1)^n n
Em cada caso abaixo, determine para quais valores de n vale
dn<-10^20

Passo 1

O enunciado dá cinco sequências indexadas por ninN:
an=n^2, bn=-n^3, cn=raizn, dn=(-1)^nn, en=n+(-1)^nn,
e pede, em cada caso, para quais valores de n vale
xn< -10^20
Aqui vamos resolver inequações envolvendo potências e considerar o sinal (e no caso de dn e en a paridade de n) para encontrar todos os ninN que satisfazem cada desigualdade.

Passo 2

Analisando an=n^2 e cn=raizn: ambas são sempre não negativas para ninN. Logo, nunca podem ser menores que -10^20.
Resultado:
,ninNmid an< -10^20=varnothing, ,ninNmid cn< -10^20=varnothing

Passo 3

Para bn=-n^3 resolvemos
-n^3< -10^20 Long<=ftrightarrow n^3>10^20 Long<=ftrightarrow n>10^tfrac203
Como n é inteiro positivo, a solução é
n>= llceil 10^tfrac203rrceil

Passo 4

Para dn=(-1)^nn escrevemos a desigualdade
(-1)^nn< -10^20
Esse produto só é negativo se (-1)^n=-1, ou seja, n é ímpar, e então
-,n< -10^20 Long<=ftrightarrow n>10^20
Portanto
,ninNmid dn< -10^20 =,n ímparmid n>10^20 í

Passo 5

Para en=n+(-1)^nn separamos os casos:
– Se n é ímpar, (-1)^n=-1 e en=n-n=0, que não é menor que -10^20.
– Se n é par, (-1)^n=+1 e en=n+n=2n, então
2n< -10^20
não admite solução em N, pois o lado esquerdo é positivo.
Logo
,ninNmid en< -10^20=varnothing

Resposta

a) Para an=n^2: nenhum n.
b) Para bn=-n^3:
n>= llceil 10^tfrac203rrceil
c) Para cn=raizn: nenhum n.
d) Para dn=(-1)^nn: todos os n ímpares tais que
n>10^20
e) Para en=n+(-1)^nn: nenhum n.

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