Calcule os seguintes limites por qualquer método:
lim x 0+(e^x-1)^sen x

Passo 1

O enunciado pede
limxto0^+(e^x-1)^sin x
Isso é um limite do tipo 0^0, que é indeterminado. Vamos usar logaritmos e expansões em torno de x=0.

Passo 2

Definimos
y = (e^x-1)^sin x,
então
ln y = sin x ,lnl(e^x-1r)
Em vez de atacar y diretamente, vamos calcular limxto0^+ln y.

Passo 3

Para xto0 usamos as expansões
sin x = x + o(x),
e
e^x-1 = x + tfracx^22 + o(x^2) Longrightarrow lnl(e^x-1r) = lnl(x(1 + x/2 + o(x))r) = ln x + ln(1 + x/2 + o(x)) = ln x + tfracx2 + o(x)

Passo 4

Substituindo em ln y, temos
ln y = (sin x)l(ln(e^x-1)r) = l(x + o(x)r)l(ln x + tfracx2 + o(x)r) = xln x + tfracx^22 + o(x^2) + o(xln x)
Como limxto0^+xln x = 0 e limxto0^+x^2/2 = 0, segue
limxto0^+ln y = 0

Passo 5

Se limxto0^+ln y = 0, então
limxto0^+y = e^0 = 1

Resposta

1

Exercícios de Livros Relacionados