Calcule a soma dos ângulos internos de todas as faces de um prisma que possui 40 diagonais.

Passo 1

O enunciado pede a soma dos ângulos internos de todas as faces de um prisma que possui 40 diagonais espaciais. Vamos:
  • determinar o número de lados n do polígono-base a partir da contagem de diagonais espaciais,
  • usar n para calcular a soma dos ângulos internos de cada face e depois somar todas as faces.

Passo 2

Num prisma de base n-gonal temos V=2n vértices e E=3n arestas.
1. O número total de segmentos entre pares de vértices é
binom2n2=2n,(2n-1)2=n(2n-1),
2. Destes, 3n são arestas, logo o total de diagonais (faces + espaciais) é
n(2n-1)-3n=2n^2-4n,
3. As diagonais que pertencem a faces valem: cada base tem tfracn(n-3)2 diagonais e há 2 bases, e cada uma das n faces laterais (paralelogramos) tem 2 diagonais. Então
diag de faces =2cdotn(n-3)2 ;+;ncdot2 =n(n-3)+2n =n^2-n,
4. Assim o número de diagonais espaciais é
(2n^2-4n)-l(n^2-nr) =n^2-3n

Passo 3

Como o prisma tem 40 diagonais espaciais, escrevemos
n^2-3n=40 Longrightarrow n^2-3n-40=0
Resolvendo:
De<a =(-3)^2-4cdot1cdot(-40)=9+160=169,
n=3pm132;Rightarrow;n=8(descartamos n<0)

Passo 4

Agora calculamos a soma dos ângulos internos de todas as faces. O prisma tem:
  • 2 bases, cada uma soma (n-2)times180^circ.
  • n faces laterais, cada quadrilátero tem soma 360^circ.
Logo a soma total é
2,(n-2),180^circ ;+;ncdot360^circ =(2n-4),180^circ+360n^circ

Passo 5

Substituindo n=8:
(2cdot8-4),180^circ+360cdot8^circ =(16-4),180^circ+2880^circ =12cdot180^circ+2880^circ =2160^circ+2880^circ =5040^circ

Resposta

5040^circ

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