Calcule a soma dos inversos de todos os divisores de 360. (Harvard)

Passo 1

O enunciado pede a soma dos recíprocos de todos os divisores de 360. Para resolver isso, vamos usar a fatoração em primos de 360 e a propriedade de que a função
sigma-1(n)=sumdmid n1d
é multiplicativa, o que nos leva a somas de séries geométricas.

Passo 2

Fatoramos 360 em primos:
360 = 2^3 cdot 3^2 cdot 5^1

Passo 3

Pela multiplicatividade,
sumdmid 360 1d = sumi=0^3sumj=0^2sumk=0^1 12^i,3^j,5^k = l(sumi=0^3 12^ir) l(sumj=0^2 13^jr) l(sumk=0^1 15^kr)

Passo 4

Calculamos cada soma geométrica:
sumi=0^3 12^i = 1 + 12 + 14 + 18 = 158,
sumj=0^2 13^j = 1 + 13 + 19 = 139,
sumk=0^1 15^k = 1 + 15 = 65

Passo 5

Multiplicando os três resultados:
158;cdot;139;cdot;65 = 15cdot13cdot68cdot9cdot5 = 134

Resposta

134

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