Qual é a soma de todos os divisores exatos do número N=19^88-1 que são da forma 2^a times 3^b, supondo a e b maiores que zero?

Passo 1

O problema pede a soma de todos os divisores exatos de N=19^88-1 que sejam da forma 2^a3^b com a>0 e b>0.
Conteúdo: vamos precisar encontrar as multiplicidades de 2 e de 3 em N, ou seja, e2=v2(N) e e3=v3(N), usando o Lemma de LTE, e depois somar
suma=1^e2sumb=1^e32^a3^b

Passo 2

Calcular e2=v2(19^88-1) pelo LTE, já que 19 é ímpar e 88 é par:
v2(19^88-1)=v2(19-1)+v2(19+1)+v2(88)-1
Aqui 19-1=18 v2(18)=1, 19+1=20 v2(20)=2, e v2(88)=3. Logo
e2=1+2+3-1=5

Passo 3

Calcular e3=v3(19^88-1) pelo LTE para primo ímpar dividindo 19-1:
v3(19^88-1)=v3(19-1)+v3(88)
Como 19-1=18 v3(18)=2 e 88 não é múltiplo de 3, v3(88)=0. Logo
e3=2+0=2

Passo 4

Qualquer divisor da forma 2^a3^b que divide N satisfaz 1<= a<= e2 e 1<= b<= e3. Assim a soma é
suma=1^52^a;sumb=1^23^b =l(2^1+2^2+2^3+2^4+2^5r)l(3^1+3^2r)
Calculando cada soma geométrica:
2^1+2^2+2^3+2^4+2^5=22^5-12-1=2(31)=62, 3^1+3^2=3+9=12
Portanto a soma total é 62times12.

Resposta

744

Exercícios de Livros Relacionados