Qual é o número de zeros do produto 1 times 2 times 3 times cdots times 147 times 148 (base 10), quando expresso na base 12?

Passo 1

O enunciado pede o número de zeros finais de
148! = 1 times 2 times 3 times cdots times 147 times 148
quando escrito na base 12. Na base 12 temos
12 = 2^2times 3,
logo cada “zero” em base 12 corresponde a um fator 2^2times3. O número de zeros finais é
minl(llfloortfracv2(148!)2rrfloor,;v3(148!)r),
onde vp(n!) é a multiplicidade de p em n! (fórmula de Legendre).

Passo 2

Calcular v2(148!) pela soma
v2(148!) = sumk=1^inftyllfloor tfrac1482^krrfloor
Os termos não nulos são
lfloor148/2rfloor=74,; lfloor148/4rfloor=37,; lfloor148/8rfloor=18,; lfloor148/16rfloor=9,
lfloor148/32rfloor=4,; lfloor148/64rfloor=2,; lfloor148/128rfloor=1
Somando,
v2(148!)=74+37+18+9+4+2+1=145

Passo 3

Calcular v3(148!) pela soma
v3(148!) = sumk=1^inftyllfloor tfrac1483^krrfloor
Os termos não nulos são
lfloor148/3rfloor=49,; lfloor148/9rfloor=16,; lfloor148/27rfloor=5,; lfloor148/81rfloor=1
Somando,
v3(148!)=49+16+5+1=71

Passo 4

O número de zeros finais em base 12 é
minl(llfloortfracv2(148!)2rrfloor,;v3(148!)r) =minl(lfloor145/2rfloor,;71r) =min(72,,71) =71

Resposta

71

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