Quantos meios devem ser intercalados entre 78125 e 128 para obter uma P.G. de razão 25 ?

Passo 1

O enunciado pede para intercalar um certo número de termos entre 78125 e 128 de modo que a sequência resultante seja uma progressão geométrica (P.G.) de razão tfrac25.
Conteúdo: fórmula do termo geral de uma P.G. e propriedades de potências.

Passo 2

Se chamarmos de n o número de meios a inserir, a sequência terá n+2 termos, com primeiro termo a0=78125 e último termo an+1=128. Numa P.G. de razão r=tfrac25, vale
ak = a0 , r^k
Em particular, para k=n+1:
an+1 = 78125l(tfrac25r)^n+1 = 128

Passo 3

Montamos a equação
78125l(tfrac25r)^n+1 = 128
Para resolver, note que 78125 = 5^7 e 128 = 2^7. Logo,
5^7l(tfrac25r)^n+1 = 2^7 Longrightarrow 5^7 2^,n+15^,n+1 = 2^7

Passo 4

Simplificando as potências de 5 e 2:
2^,n+15^,n+1-7 = 2^7
Mas 5^,n+1-7 fica no denominador, e para a igualdade só ter sentido devemos ter n+1-7=0 (caso contrário apareceriam fatores de 5 sobrando). Assim
n+1 = 7 Longrightarrow n = 6

Resposta

6 meios devem ser intercalados.

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