Quantos meios devem ser intercalados entre 78125 e 128 para obter uma P.G. de razão
?
Passo 1
O enunciado pede para intercalar um certo número de termos entre
e
de modo que a sequência resultante seja uma progressão geométrica (P.G.) de razão
.
Conteúdo: fórmula do termo geral de uma P.G. e propriedades de potências.
Conteúdo: fórmula do termo geral de uma P.G. e propriedades de potências.
Passo 2
Se chamarmos de
o número de meios a inserir, a sequência terá
termos, com primeiro termo
e último termo
. Numa P.G. de razão
, vale
Em particular, para
:
Passo 3
Montamos a equação
Para resolver, note que
e
. Logo,
Passo 4
Simplificando as potências de
e
:
Mas
fica no denominador, e para a igualdade só ter sentido devemos ter
(caso contrário apareceriam fatores de
sobrando). Assim