Calcule a soma dos termos das seguintes sequências:
Calcule a expressão 1+22+34+48+516+ldots

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma infinita
1 + 22 + 34 + 48 + 516 + cdots
Perceba que o n-ésimo termo é tfracn2^,n-1. Para resolver isso, vamos usar a teoria de séries geométricas e o fato de que a derivada de uma série pode gerar a fatoração por n.

Passo 2

Definimos a soma desejada como
S = sumn=1^infty n2^,n-1
Para aproveitar a série geométrica, considere
g(x) = sumn=0^infty x^n = 11 - x, |x|<1
Derivando ambos os lados em relação a x, obtemos
g'(x) = sumn=1^infty n,x^,n-1 = 1(1 - x)^2
Logo, para x=tfrac12,
sumn=1^infty nl(tfrac12r)^n-1 = g'l(tfrac12r) = 1l(1 - tfrac12r)^2 = 1(tfrac12)^2 = 4
Como sumn=1^infty tfracn2^,n-1=sumn=1^infty n(tfrac12)^n-1, concluímos que S=4.

Resposta

4

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