Qual é o número que deve ser somado a 1, 9 e 15 para termos, nessa ordem, três números em P.G.?

Solução

Para que ( x+1, x+9, x+15 ) seja P.G., devemos ter
x+9x+1=x+15x+9 e, então:
(x+9)^2=(x+1)(x+15) Rightarrow not x^2+18 x+81=not x^2+16 x+15 Rightarrow 2 x=-66 Rightarrow Rightarrow x=-33.

Passo 1

O enunciado pede um número x tal que, ao somá-lo a 1, 9 e 15, os três resultados fiquem em progressão geométrica. O conteúdo é progressão geométrica (P.G.) de três termos e vamos usar a condição que relaciona as razões.

Passo 2

Em uma P.G. de três termos a,b,c temos
ba ;=;cb
Aqui a = x+1, b = x+9 e c = x+15, logo impomos
x+9x+1 ;=;x+15x+9

Passo 3

Multiplicando em cruz obtemos
(x+9)^2 = (x+1)(x+15)
Expandindo cada lado:
x^2 + 18x + 81 = x^2 + 16x + 15
Cancelando x^2 e agrupando termos, vem
18x + 81 = 16x + 15 Longrightarrow 2x + 66 = 0

Passo 4

Resolvendo 2x + 66 = 0
x = -33
Verificando, os termos ficam (x+1, x+9, x+15) = (-32,,-24,,-18), cuja razão é
-24-32 = 34 e -18-24 = 34,
confirmando que formam uma P.G.

Resposta

-33

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