Considere uma progressão geométrica em que o primeiro termo é a, a>1, a razão é q, q>1, e o produto dos seus termos é c. Se log a b=4, log q b=2 e log c b=0,01, quantos termos tem essa progressão geométrica?

Passo 1

O enunciado descreve uma progressão geométrica (PG) de primeiro termo a>1, razão q>1 e com n termos, cujo produto é c. Sabemos ainda que
logab=4, logqb=2 e logcb=0,01.
O objetivo é determinar n.

Passo 2

Usamos as definições de logaritmo para expressar a, q e c em função de b:
Da relação logab=4 segue
b = a^4
logo
a = b^1/4
De logqb=2 vem
b = q^2
logo
q = b^1/2
E de logcb=0,01 obtemos
b = c^0,01
que equivale a
c = b^100

Passo 3

Sabemos que o produto dos n termos de uma PG de primeiro termo a e razão q é
c = a^n ,q^n(n-1)2

Passo 4

Substituindo a=b^1/4, q=b^1/2 e c=b^100 em
c = a^n ,q^n(n-1)2
temos
b^100 ;=;l(b^1/4r)^n ;cdot;l(b^1/2r)^n(n-1)2
Ao somar os expoentes de b no lado direito, obtém-se tfracn4+tfracn(n-1)4=tfracn^24. Portanto
100 = n^24

Passo 5

Multiplicando por 4 e extraindo raiz quadrada, vem
n^2 = 400
e como n>0 (número de termos), concluímos
n = 20

Resposta

20

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