Calcule \sum_{k=0}^{n} k(k-1)\binom{n}{k} 2^{k}.

Solução:

Passo 1

O enunciado pede calcular
\sum_{k=0}^{n} k(k-1)\binom{n}{k}2^{k}.
Vamos usar funções geradoras, aproveitando que
S(x)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}=(1+x)^{n}
e suas derivadas para obter somas ponderadas por k e por k(k-1).

Passo 2

Primeiro, diferenciamos S(x) e multiplicamos por x para obter a soma com peso k:
xS'(x) = x\frac{d}{dx}(1+x)^{n} = n\,x\,(1+x)^{n-1} =\sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}x^{k}.

Passo 3

Agora, diferenciamos novamente xS'(x) e multiplicamos por x para introduzir o fator k-1:
x\frac{d}{dx}\bigl(xS'(x)\bigr) = x\frac{d}{dx}\bigl(n\,x\,(1+x)^{n-1}\bigr) = n\,x\,(1+x)^{n-1} + n(n-1)\,x^{2}\,(1+x)^{n-2}.
Logo,
\sum_{k=0}^{n}k(k-1)\binom{n}{k}x^{k} = n(n-1)\,x^{2}\,(1+x)^{n-2}.

Passo 4

Bastou agora substituir x=2:
\sum_{k=0}^{n}k(k-1)\binom{n}{k}2^{k} = n(n-1)\,2^{2}\,(1+2)^{n-2} = 4\,n(n-1)\,3^{\,n-2}.

Resposta

4\,n(n-1)\,3^{\,n-2}.

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