(UECE-09) O quadro numérico a seguir é conhecido como o triângulo de PascalTartaglia:
1{ }^{\text {a }} linha: 1
2^{\mathrm{a}} linha: 1 1
3{ }^{2} linha: 1 2 1
4{ }^{\text {a }} linha: 1 3 3 1
5^{\mathrm{d}} linha: 1 4 6 4 1
6{ }^{\text {a }} linha: 1 5 10 10 5 1
e assim sucessivamente.
Observando a lógica construtiva do quadro anterior, podemos concluir que a soma do segundo elemento da 2009^{\text {a }} linha com o penúltimo elemento da linha imediatamente anterior é
A) 4015 .
B) 4017 .
C) 4019 .
D) 4021 .

Solução: Alternativa A

Sabe-se que cada elemento da linha n do triângulo de Pascal ć uma combinação do tipo C_{n . k}, onde k é a posição do elemento.
Assim, a soma pedida vale \mathrm{C}_{2009.1}+\mathrm{C}_{2008.2007}=2009+2008=4015.

Passo 1

O enunciado apresenta o triângulo de Pascal, em que a 1ª linha tem um único elemento \binom{0}{0}, a 2ª linha corresponde aos coeficientes \binom{1}{0},\binom{1}{1} e assim por diante. Ele pede a soma do segundo elemento da 2009ª linha com o penúltimo elemento da 2008ª linha.

Passo 2

A teoria do triângulo de Pascal diz que o k-ésimo elemento da n-ésima linha é dado por
\binom{n-1}{\,k-1\,}.
Isso decorre de numerarmos a 1ª linha como n=1, então seus coeficientes são \binom{0}{0}.

Passo 3

Para encontrar o segundo elemento da 2009ª linha, fazemos n=2009 e k=2. Assim,
\binom{2009-1}{2-1}=\binom{2008}{1}=2008.

Passo 4

Na linha imediatamente anterior ( n=2008), o penúltimo elemento corresponde a k=n-1=2007. Então
\binom{2008-1}{2007-1}=\binom{2007}{2006}=\binom{2007}{1}=2007.

Passo 5

Bastam agora somar esses valores:
2008 + 2007 = 4015.

Resposta

A) 4015

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