(Olimpíada de São Paulo-00) a) Escreva o termo geral do desenvolvimento de (\sqrt{5}+\sqrt[3]{13})^{7}.
b) Determine os termos racionais no desenvolvimento do binömio anterior.
Solução:
a) \mathrm{T}_{\mathrm{p}+1}=\binom{7}{\mathrm{p}}\left(5^{1 / 2}\right)^{7-\mathrm{p}}\left(13^{1 / 3}\right)^{\mathrm{p}}=\binom{7}{\mathrm{p}} 5^{\frac{7-\mathrm{p}}{2} 13^{\frac{\mathrm{p}}{3}}}.
b) Para que T_{p+1} seja racional devemos ter 7 - p par e p múltiplo de 3. Para que 7 p seja par temos p=1,3,5 ou 7 . Para que p seja múltiplo de 3 devemos ter p=0,3 ou 6. Portanto, a única possibilidade é \mathrm{p}=3. Assim, o único termo racional é \mathrm{T}_{4}=\binom{7}{3} 5^{2} 13^{1}=11375.

Passo 1

O enunciado nos dá o binômio (\sqrt{5}+\sqrt[3]{13})^{7} e pede:
(a) o termo geral de sua expansão;
(b) os termos que são racionais.
Vamos usar o Teorema Binomial, que diz que, para n\in\mathbb{N} e quaisquer a,b,
(a+b)^{n}=\sum_{p=0}^{n}\binom{n}{p}\,a^{n-p}b^{p}.

Passo 2

Tomando a=\sqrt{5}=5^{1/2}, b=\sqrt[3]{13}=13^{1/3} e n=7, o termo geral (índice p) é
T_{p+1}=\binom{7}{p}\,(5^{1/2})^{7-p}\,(13^{1/3})^{p} =\binom{7}{p}\,5^{\frac{7-p}{2}}\,13^{\frac{p}{3}}, \quad p=0,1,\dots,7.

Passo 3

Para que T_{p+1} seja racional, precisamos que tanto 5^{\frac{7-p}{2}} quanto 13^{\frac{p}{3}} sejam racionais.
Isto exige
\frac{7-p}{2}\in\mathbb{Z} \quad\text{e}\quad \frac{p}{3}\in\mathbb{Z},
ou seja, 7-p é par e p é múltiplo de 3.

Passo 4

Vendo p=0,1,\dots,7:
7-p par \Leftrightarrow\ p ímpar \Leftrightarrow\ p\in\{1,3,5,7\}.
p múltiplo de 3 \Leftrightarrow\ p\in\{0,3,6\}.
A única interseção é p=3.

Passo 5

Para p=3 temos
T_{4} =\binom{7}{3}\,5^{\frac{7-3}{2}}\,13^{\frac{3}{3}} =\binom{7}{3}\,5^{2}\,13 =35\cdot25\cdot13 =11375.

Resposta

(a) \displaystyle T_{p+1}=\binom{7}{p}\,5^{\frac{7-p}{2}}\,13^{\frac{p}{3}},\quad p=0,1,\dots,7.
(b) O único termo racional é T_{4}=11375.

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