(Olimpíada de São Paulo-00) a) Escreva o termo geral do desenvolvimento de
.
b) Determine os termos racionais no desenvolvimento do binömio anterior.
Solução:
a)
.
b) Para que
seja racional devemos ter 7 - p par e p múltiplo de 3. Para que 7
seja par temos
ou 7 . Para que
seja múltiplo de 3 devemos ter
ou 6. Portanto, a única possibilidade é
. Assim, o único termo racional é
.
b) Determine os termos racionais no desenvolvimento do binömio anterior.
a)
b) Para que
Passo 1
O enunciado nos dá o binômio
e pede:
(a) o termo geral de sua expansão;
(b) os termos que são racionais.
Vamos usar o Teorema Binomial, que diz que, para e quaisquer
,
(a) o termo geral de sua expansão;
(b) os termos que são racionais.
Vamos usar o Teorema Binomial, que diz que, para
Passo 2
Tomando
,
e
, o termo geral (índice
) é
Passo 3
Para que
seja racional, precisamos que tanto
quanto
sejam racionais.
Isto exige
Isto exige
ou seja,
é par e
é múltiplo de
.
Passo 4
Vendo
:
– par \Leftrightarrow\
ímpar \Leftrightarrow\
.
– múltiplo de
\Leftrightarrow\
.
A única interseção é .
–
–
A única interseção é
Passo 5
Para
temos
Resposta
(a)
(b) O único termo racional é .
(b) O único termo racional é