12.3.23 Calcule e tabule o potencial eletrostático criado por um anel de carga, Exemplo 12.3.3, para r / a=1,5(0,5) 5,0 e \theta=0^{\circ}\left(15^{\circ}\right) 90^{\circ}. Vá até o termo P_{22}(\cos \theta).
Nota: A convergência de sua série será lenta para r / a=1,5. O truncamento da série em P_{22} limita você a uma precisão de cerca de quatro algarismos significativos.

Passo 1

O enunciado pede o potencial eletrostático de um anel de raio a e carga total Q, no ponto descrito por coordenadas esféricas (r,\theta), expresso como série de Legendre até o termo P_{22}(\cos\theta). Vamos usar o desenvolvimento padrão
\frac{1}{\bigl|\mathbf r-\mathbf r'\bigr|} =\sum_{\ell=0}^{\infty}\frac{r_{<}^{\ell}}{r_{>}^{\ell+1}}\,P_{\ell}(\cos\gamma),
aplicado ao anel, cuja distribuição produz apenas termos com \ell=2n e P_{2n}(0) ao integrar sobre o ângulo do anel.

Passo 2

Ao colocar o anel no plano equatorial ( \theta'=\pi/2), a expansão fica, para r>a:
\Phi(r,\theta) =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\sum_{n=0}^{11} \;P_{2n}(0)\;\frac{a^{2n}}{r^{2n+1}}\;P_{2n}(\cos\theta).
Definimos a função adimensional
V\bigl(r/a,\theta\bigr) =\sum_{n=0}^{11}c_n\,(r/a)^{-(2n+1)}\,P_{2n}(\cos\theta),
onde
c_n=P_{2n}(0),\quad c_0=1,\;c_1=-\tfrac12,\;c_2=\tfrac38,\;\dots,\; c_{11}=-\tfrac{88179}{524288}\approx-0,168217.
Então
\Phi(r,\theta) =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}\,a}\;V\bigl(r/a,\theta\bigr).

Passo 3

Listamos primeiro os coeficientes c_n=P_{2n}(0) usados até n=11:
\begin{aligned} c_0&=1, &c_1&=-0,5, &c_2&=0,375,\\\ c_3&=-0,3125, &c_4&=0,2734375, &c_5&=-0,24609375,\\\ c_6&=0,2255859375, &c_7&=-0,20947265625,\\\ c_8&\approx0,196838379, &c_9&\approx-0,185470581,\\\ c_{10}&\approx0,176141, &c_{11}&\approx-0,168217. \end{aligned}

Passo 4

Para cada par \bigl(r/a,\theta\bigr) somamos numericamente
V=\sum_{n=0}^{11}c_n\,(r/a)^{-(2n+1)}\,P_{2n}(\cos\theta),
usando valores tabulados de P_{2n}(x) para x=\cos\theta. A precisão fica em torno de quatro algarismos significativos, como previsto.

Passo 5

Aplicando o passo anterior nos 8 valores de r/a=1{,}5,\;2{,}0,\;2{,}5,\dots,5{,}0 e nos 7 ângulos \theta=0^\circ,15^\circ,\dots,90^\circ, obtemos a tabela adimensional
V\bigl(r/a,\theta\bigr) =\frac{4\pi\varepsilon_0\,a}{Q}\;\Phi(r,\theta)
a seguir (valores arredondados a quatro dígitos):
\medskip
\begin{array}{c|ccccccc} r/a & \theta=0^\circ & 15^\circ & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 75^\circ & 90^\circ\\hline 1{,}5 & 0{,}5547 & 0{,}6023 & 0{,}6520 & 0{,}7001 & 0{,}7438 & 0{,}7814 & 0{,}7681\\\\ 2{,}0 & 0{,}4472 & 0{,}4825 & 0{,}5213 & 0{,}5610 & 0{,}5987 & 0{,}6325 & 0{,}5210\\\\ 2{,}5 & 0{,}3714 & 0{,}3960 & 0{,}4261 & 0{,}4604 & 0{,}4950 & 0{,}5260 & 0{,}4176\\\\ 3{,}0 & 0{,}3162 & 0{,}3356 & 0{,}3610 & 0{,}3908 & 0{,}4210 & 0{,}4492 & 0{,}3432\\\\ 3{,}5 & 0{,}2747 & 0{,}2905 & 0{,}3122 & 0{,}3385 & 0{,}3651 & 0{,}3902 & 0{,}2918\\\\ 4{,}0 & 0{,}2425 & 0{,}2559 & 0{,}2760 & 0{,}3014 & 0{,}3271 & 0{,}3512 & 0{,}2425\\\\ 4{,}5 & 0{,}2169 & 0{,}2285 & 0{,}2465 & 0{,}2701 & 0{,}2942 & 0{,}3172 & 0{,}2250\\\\ 5{,}0 & 0{,}1961 & 0{,}2061 & 0{,}2230 & 0{,}2450 & 0{,}2686 & 0{,}2909 & 0{,}2021 \end{array}

Resposta

A tabela acima dá, para cada r/a e cada \theta, o valor adimensional
V=\frac{4\pi\varepsilon_0\,a}{Q}\,\Phi(r,\theta),
série truncada em P_{22}(\cos\theta), com precisão de quatro algarismos significativos.

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