12.3.2 Expanda a função delta de Dirac em uma série de polinômios de Legendre usando o intervalo -1 \leq x \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a função delta de Dirac, no intervalo -1\le x\le1, como série em polinômios de Legendre. O ponto-chave aqui é usar a propriedade de ortogonalidade dos polinômios de Legendre P_n(x) em [-1,1], que é
\int_{-1}^{1}P_n(x)\,P_m(x)\,\mathrm{d}x = \frac{2}{2n+1}\,\delta_{nm}.
Vamos chamar a segunda variável de expansão de y, de modo que queremos
\delta(x-y) em termos de P_n(x) e P_n(y).

Passo 2

Assumimos a forma geral da expansão
\delta(x-y)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(y)\,P_n(x).
Para encontrar o coeficiente a_m(y), multiplicamos os dois lados por P_m(x) e integramos em x de -1 a 1:
\int_{-1}^{1}\delta(x-y)\,P_m(x)\,\mathrm{d}x =\sum_{n=0}^{\infty}a_n(y)\int_{-1}^{1}P_n(x)\,P_m(x)\,\mathrm{d}x.

Passo 3

No lado esquerdo usamos a propriedade da delta para obter P_m(y). No direito, a ortogonalidade anula todos os termos exceto n=m:
P_m(y) = a_m(y)\,\frac{2}{2m+1}.
Isolando a_m(y), vem
a_m(y)=\frac{2m+1}{2}\,P_m(y).

Resposta

\boxed{\delta(x-y)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2n+1}{2}\,P_n(x)\,P_n(y)\,.}

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