12.3.2 Expanda a função delta de Dirac em uma série de polinômios de Legendre usando o intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede para escrever a função delta de Dirac, no intervalo
, como série em polinômios de Legendre. O ponto-chave aqui é usar a propriedade de ortogonalidade dos polinômios de Legendre
em
, que é
Vamos chamar a segunda variável de expansão de
, de modo que queremos
em termos de
e
.
Passo 2
Assumimos a forma geral da expansão
Para encontrar o coeficiente
, multiplicamos os dois lados por
e integramos em
de
a
:
Passo 3
No lado esquerdo usamos a propriedade da delta para obter
. No direito, a ortogonalidade anula todos os termos exceto
:
Isolando
, vem