12.3.3 Verifique as expansões de função delta de Dirac
Essas expressões aparecem em uma resolução da expansão da onda plana de Rayleigh (Exercício 12.4.7) em ondas esféricas incidente e emergente.
Nota: Admita que toda função delta de Dirac é coberta quando integrada no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede para obter as expansões em séries de polinômios de Legendre das distribuições de Dirac
e
no intervalo
.
O conteúdo que vamos usar é a completude e a ortogonalidade dos polinômios de Legendre em
.
O conteúdo que vamos usar é a completude e a ortogonalidade dos polinômios de Legendre
Passo 2
Por completude, qualquer função
integrável em
se expande como
com coeficiente
Esse resultado vem da ortogonalidade
Passo 3
Aplicamos ao caso
. Então
Mas sabemos que
para todo
. Logo
Passo 4
De modo análogo, tomamos
.
Os coeficientes são
Os coeficientes são
E como
, segue