12.3.3 Verifique as expansões de função delta de Dirac
\begin{aligned} & \delta(1-x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2 n+1}{2} P_{n}(x) \\\ & \delta(1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{2 n+1}{2} P_{n}(x) \end{aligned}
Essas expressões aparecem em uma resolução da expansão da onda plana de Rayleigh (Exercício 12.4.7) em ondas esféricas incidente e emergente.
Nota: Admita que toda função delta de Dirac é coberta quando integrada no intervalo [-1,1].

Passo 1

O enunciado pede para obter as expansões em séries de polinômios de Legendre das distribuições de Dirac
\delta(1-x) e \delta(1+x) no intervalo [-1,1].
O conteúdo que vamos usar é a completude e a ortogonalidade dos polinômios de Legendre P_n(x) em [-1,1].

Passo 2

Por completude, qualquer função f(x) integrável em [-1,1] se expande como
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}P_{n}(x),
com coeficiente
a_{n}=\frac{2n+1}{2}\int_{-1}^{1}f(t)\,P_{n}(t)\,dt.
Esse resultado vem da ortogonalidade
\int_{-1}^{1}P_{n}(t)P_{m}(t)\,dt=\frac{2}{2n+1}\,\delta_{nm}.

Passo 3

Aplicamos ao caso f(t)=\delta(1-t). Então
a_{n} =\frac{2n+1}{2}\int_{-1}^{1}\delta(1-t)\,P_{n}(t)\,dt =\frac{2n+1}{2}\,P_{n}(1).
Mas sabemos que P_{n}(1)=1 para todo n. Logo
a_{n}=\frac{2n+1}{2} \quad\Longrightarrow\quad \delta(1-x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2n+1}{2}\,P_{n}(x).

Passo 4

De modo análogo, tomamos f(t)=\delta(1+t)=\delta(t+1).
Os coeficientes são
a_{n} =\frac{2n+1}{2}\int_{-1}^{1}\delta(t+1)\,P_{n}(t)\,dt =\frac{2n+1}{2}\,P_{n}(-1).
E como P_{n}(-1)=(-1)^{n}, segue
a_{n}=(-1)^{n}\,\frac{2n+1}{2} \quad\Longrightarrow\quad \delta(1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2n+1}{2}\,P_{n}(x).

Resposta

\displaystyle \delta(1-x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2n+1}{2}\,P_{n}(x)
\displaystyle \delta(1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2n+1}{2}\,P_{n}(x)

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