12.3.6 Uma função f(x) é expandida em uma série de Legendre f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} P_{n}(x). Mostre que
\int_{-1}^{1}[f(x)]^{2} d x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2 a_{n}^{2}}{2 n+1}
Essa é a forma de Legendre da série de Fourier identidade de Parseval, Exercício 14.4.2. Ela também ilustra a desigualdade de Bessel, Equação (10.72), tornando-se uma igualdade para um conjunto completo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, se
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}P_{n}(x)
é a expansão de uma função em polinômios de Legendre P_n(x), então vale a identidade de Parseval na forma
\int_{-1}^{1}[f(x)]^{2}\,dx \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2\,a_{n}^{2}}{2n+1}.
O conteúdo principal é usar a ortogonalidade dos polinômios de Legendre.

Passo 2

Lembremos a relação de ortogonalidade dos polinômios de Legendre em [-1,1]:
\int_{-1}^{1}P_{n}(x)\,P_{m}(x)\,dx =\frac{2}{2n+1}\,\delta_{nm},
onde \delta_{nm} é o delta de Kronecker (vale 1 se n=m e 0 caso contrário).

Passo 3

Escrevemos o quadrado de f(x) e usamos a linearidade da integral:
[f(x)]^{2} =\biggl(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}P_{n}(x)\biggr) \biggl(\sum_{m=0}^{\infty}a_{m}P_{m}(x)\biggr) =\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}a_{n}a_{m}\,P_{n}(x)P_{m}(x),
portanto
\int_{-1}^{1}[f(x)]^{2}\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}a_{n}a_{m} \int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,dx.

Passo 4

Aplicando a ortogonalidade de P_{n} e P_{m} só permanecem os termos com n=m:
\int_{-1}^{1}[f(x)]^{2}\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}a_{n}a_{m}\,\frac{2}{2n+1}\,\delta_{nm} =\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}^{2}\,\frac{2}{2n+1}.

Resposta

\int_{-1}^{1}[f(x)]^{2}\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2\,a_{n}^{2}}{2n+1}.

Exercícios de Livros Relacionados