12.3.6 Uma função
é expandida em uma série de Legendre
. Mostre que
Essa é a forma de Legendre da série de Fourier identidade de Parseval, Exercício 14.4.2. Ela também ilustra a desigualdade de Bessel, Equação (10.72), tornando-se uma igualdade para um conjunto completo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, se
é a expansão de uma função em polinômios de Legendre
, então vale a identidade de Parseval na forma
O conteúdo principal é usar a ortogonalidade dos polinômios de Legendre.
Passo 2
Lembremos a relação de ortogonalidade dos polinômios de Legendre em
:
onde
é o delta de Kronecker (vale
se
e
caso contrário).
Passo 3
Escrevemos o quadrado de
e usamos a linearidade da integral:
portanto
Passo 4
Aplicando a ortogonalidade de
e
só permanecem os termos com
: