12.3.21 Na notação da Seção 10.4, \varphi_{s}(x)=\sqrt{(2 s+1) / 2} P_{s}(x), um polinômio de Legendre é renormalizado para unidade. Explique como \left|\varphi_{s}\right\rangle\left\langle\varphi_{s}\right| age como um operador de projeção. Em particular, mostre que, se |f\rangle=\sum_{n} a_{n}^{\prime}\left|\varphi_{n}\right\rangle, então
\left|\varphi_{s}\right\rangle\left\langle\varphi_{s} \mid f\right\rangle=a_{s}^{\prime}\left|\varphi_{s}\right\rangle .

Passo 1

O enunciado define
\varphi_{s}(x)=\sqrt{\frac{2s+1}{2}}\,P_{s}(x)
como um polinômio de Legendre normalizado de forma que
\langle\varphi_{m}|\varphi_{n}\rangle =\int_{-1}^{1}\varphi_{m}(x)\,\varphi_{n}(x)\,dx =\delta_{mn}.
Queremos mostrar que o operador
P_s=\bigl|\varphi_{s}\bigr\rangle\bigl\langle\varphi_{s}\bigr|
é um projetor e, em particular, que para
\displaystyle |f\rangle=\sum_{n}a_{n}'\,\bigl|\varphi_{n}\bigr\rangle
temos
P_s\,|f\rangle =a_{s}'\,\bigl|\varphi_{s}\bigr\rangle.

Passo 2

Um projetor P satisfaz duas propriedades-chave:
  1. P é hermitiano, isto é, P^\dagger=P.
  2. P é idempotente, isto é, P^2=P.
    Para P_s=|\varphi_s\rangle\langle\varphi_s| temos
P_s^\dagger =\bigl(|\varphi_s\rangle\langle\varphi_s|\bigr)^\dagger =|\varphi_s\rangle\langle\varphi_s| = P_s,
e
P_s^2 =\bigl|\varphi_s\bigr\rangle\bigl\langle\varphi_s\bigl|\varphi_s\bigr\rangle\bigl\langle\varphi_s\bigr| =\bigl|\varphi_s\bigr\rangle\underbrace{\langle\varphi_s|\varphi_s\rangle}_{1}\bigl\langle\varphi_s\bigr| =P_s.

Passo 3

Vamos ver como P_s age sobre cada estado da base ortonormal \{|\varphi_n\rangle\}:
P_s\,\bigl|\varphi_m\bigr\rangle =\bigl|\varphi_s\bigr\rangle\bigl\langle\varphi_s\bigl|\varphi_m\bigr\rangle =\delta_{sm}\,\bigl|\varphi_s\bigr\rangle.

Passo 4

Agora aplicamos P_s ao vetor genérico
\displaystyle |f\rangle=\sum_{n}a_{n}'\,|\varphi_{n}\rangle.
Pelo resultado anterior temos
P_s\,|f\rangle =\sum_{n}a_{n}'\,P_s\,\bigl|\varphi_{n}\bigr\rangle =\sum_{n}a_{n}'\,\delta_{sn}\,\bigl|\varphi_s\bigr\rangle =a_{s}'\,\bigl|\varphi_s\bigr\rangle.

Resposta

\bigl|\varphi_{s}\bigr\rangle\bigl\langle\varphi_{s}\mid f\bigr\rangle =a_{s}'\,\bigl|\varphi_{s}\bigr\rangle,
ou seja, \bigl|\varphi_s\bigr\rangle\langle\varphi_s| projeta |f\rangle na direção de \bigl|\varphi_s\bigr\rangle.

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