Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)
đ‘„2+𝑩2 ≀ 4 e đ‘„2+𝑩2+𝑧2 ≀ 9.

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto
x^2 + y^2 \le 4 \quad\text{e}\quad x^2 + y^2 + z^2 \le 9,
ou seja, a interseção do cilindro de raio 2 com a esfera de raio 3. Vamos usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) e um integral triplo para encontrar esse volume.

Passo 2

Em coordenadas cilĂ­ndricas temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z=z,
com o jacobiano r. As restriçÔes viram
0 \le r \le 2,\quad 0 \le \theta \le 2\pi, \quad -\sqrt{9 - r^2} \,\le\, z \,\le\, \sqrt{9 - r^2}.
Logo o volume Ă©
V = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{2} \int_{z=-\sqrt{9-r^2}}^{\sqrt{9-r^2}} r \,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Primeiro integramos em z:
\int_{-\sqrt{9-r^2}}^{\sqrt{9-r^2}}r\,dz = r\bigl[\,z\bigr]_{-\sqrt{9-r^2}}^{\sqrt{9-r^2}} = 2r\sqrt{9 - r^2}.
Assim
V = \int_{0}^{2\pi}\!\! \int_{0}^{2} 2r\sqrt{9 - r^2}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Como nĂŁo hĂĄ \theta no integrando,
V = 2\pi \cdot \int_{0}^{2} 2r\sqrt{9 - r^2}\,dr = 4\pi \int_{0}^{2} r\sqrt{9 - r^2}\,dr.
Use u = 9 - r^2, entĂŁo du = -2r\,dr, com r=0\Rightarrow u=9 e r=2\Rightarrow u=5. Temos
\int_{0}^{2} r\sqrt{9 - r^2}\,dr = -\tfrac12 \int_{9}^{5} u^{1/2}\,du = \tfrac12 \int_{5}^{9} u^{1/2}\,du.

Passo 5

Calcule a integral em u:
\tfrac12 \int_{5}^{9} u^{1/2}\,du = \tfrac12 \cdot \Bigl[\tfrac{2}{3}u^{3/2}\Bigr]_{5}^{9} = \tfrac{1}{3}\bigl(9^{3/2} - 5^{3/2}\bigr) = \tfrac{1}{3}\bigl(27 - 5\sqrt{5}\bigr).
Multiplicando por 4\pi obtemos
V = 4\pi \cdot \tfrac{1}{3}\bigl(27 - 5\sqrt{5}\bigr) = \tfrac{4\pi}{3}\bigl(27 - 5\sqrt{5}\bigr).

Resposta

V = \frac{4\pi}{3}\bigl(27 - 5\sqrt{5}\bigr).

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