Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)
đ‘„2+𝑩2 ≀ 𝑧 ≀ 4.

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto
\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le z\le4\}.
Esta Ă© a regiĂŁo acima do paraboloide z=x^2+y^2 e abaixo do plano z=4.

Passo 2

Como a região é simétrica em torno do eixo z, usamos coordenadas cilíndricas:
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,
com jacobiano r.
As desigualdades viram
0\le r<\infty,\quad r^2\le z\le4,\quad 0\le\theta\le2\pi,
mas como z\le4 impÔe r^2\le4, temos 0\le r\le2.

Passo 3

O volume Ă© dado por
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{r^2}^{4}r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Primeiro integramos em z:
\int_{r^2}^{4}r\,dz = r\,(4 - r^2).
Logo
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}(4r - r^3)\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integramos em r:
\int_{0}^{2}(4r - r^3)\,dr =\Bigl[2r^2 - \tfrac{r^4}{4}\Bigr]_{0}^{2} =8 - 4 =4.
EntĂŁo
V=\int_{0}^{2\pi}4\,d\theta =4\cdot2\pi =8\pi.

Resposta

8\pi

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