Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)
0 ≤ 𝑥 ≤ 1,0 ≤ 𝑦 ≤ 1 e 0 ≤ 𝑧 ≤ 5−𝑥2−3𝑦2.

Passo 1

O enunciado define o sólido limitado por 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1 e 0 \le z \le 5 - x^2 - 3y^2. Para calcular o volume, usaremos a definição de integral tripla e depois reduziremos a uma integral dupla de f(x,y) = 5 - x^2 - 3y^2 sobre o retângulo [0,1]\times[0,1].

Passo 2

Configuramos o volume V como a integral tripla
V = \int_{x=0}^{1} \int_{y=0}^{1} \int_{z=0}^{5 - x^2 - 3y^2} dz\,dy\,dx.
Integrando primeiro em z, obtemos
V = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \bigl(5 - x^2 - 3y^2\bigr)\,dy\,dx.

Passo 3

Calculamos a integral interna em y:
\int_{0}^{1} \bigl(5 - x^2 - 3y^2\bigr)\,dy = \int_{0}^{1}5\,dy \;-\; \int_{0}^{1}x^2\,dy \;-\; 3\int_{0}^{1}y^2\,dy = 5 - x^2 - 3\cdot\frac{1}{3} = 4 - x^2.

Passo 4

Agora integramos em x:
V = \int_{0}^{1} \bigl(4 - x^2\bigr)\,dx = 4\cdot 1 - \frac{1}{3} = \frac{11}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{11}{3}

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