Calcule o volume de um octaedro regular inscrito em uma esfera de volume igual a 36 pi cm^3.

Passo 1

O enunciado dá o volume de uma esfera igual a 36pi cm^3 e pede o volume de um octaedro regular inscrito nela. Vamos precisar de (i) cálculo do raio R da esfera, (ii) relação entre o raio circunscrito R e a aresta s do octaedro regular, e (iii) a fórmula do volume de um octaedro em função de s.

Passo 2

Do volume da esfera
43,pi,R^3 ;=;36pi
cancelamos pi e isolamos R^3:
R^3 = 36 times 34 = 27 Longrightarrow R = raiz[,3]27 = 3 cm

Passo 3

Num octaedro regular inscrito, seus 6 vértices estão a igual distância R do centro. Se chamarmos essa distância de a, então a = R. A aresta s é a distância entre, por exemplo, (a,0,0) e (0,a,0), ou seja
s = raiz(a-0)^2 + (0-a)^2 = raiz2,a^2 = a,raiz2
Como a=R=3, segue
s = 3raiz2 cm

Passo 4

A fórmula do volume de um octaedro regular de aresta s é
Vrm oct = raiz23,s^3
Substituindo s=3raiz2:
s^3 = (3raiz2)^3 = 27,( raiz2 )^3 = 27 times 2raiz2 = 54raiz2,
Vrm oct = raiz23times 54raiz2 = 54times23 = 36 cm^3

Resposta

36 cm^3

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