Calcule o volume de um octaedro regular inscrito em uma esfera de volume igual a
.
Passo 1
O enunciado dá o volume de uma esfera igual a
e pede o volume de um octaedro regular inscrito nela. Vamos precisar de (i) cálculo do raio
da esfera, (ii) relação entre o raio circunscrito
e a aresta
do octaedro regular, e (iii) a fórmula do volume de um octaedro em função de
.
Passo 2
Do volume da esfera
cancelamos
e isolamos
:
Passo 3
Num octaedro regular inscrito, seus 6 vértices estão a igual distância
do centro. Se chamarmos essa distância de
, então
. A aresta
é a distância entre, por exemplo,
e
, ou seja
Como
, segue
Passo 4
A fórmula do volume de um octaedro regular de aresta
é
Substituindo
: