Calcule o volume de uma pirâmide hexagonal regular, sendo 24 cm o perímetro da base e 30 cm a soma dos comprimentos de todas as arestas laterais.

Passo 1

O enunciado pede o volume de uma pirâmide hexagonal regular cuja base é um hexágono regular de perímetro 24,cm e cujas seis arestas laterais têm soma igual a 30,cm. Vamos usar:
1. Fórmula da área do hexágono regular.
2. Relação entre perímetro e lado.
3. Relação entre soma das arestas laterais e a aresta lateral.
4. Teorema de Pitágoras no triângulo formado pela aresta lateral, o raio da base e a altura da pirâmide.
5. Fórmula do volume da pirâmide.

Passo 2

Como o perímetro da base é 24,cm e a base tem 6 lados iguais, seja a o comprimento de cada lado. Então
6a = 24
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a = 4 cm

Passo 3

A soma das seis arestas laterais vale 30,cm. Sejam todas elas de comprimento l. Então
6l = 30
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l = 5 cm

Passo 4

A área da base, um hexágono regular de lado a, é dada por
Abase = 3raiz32,a^2
Substituindo a=4,cm:
Abase = 3raiz32times 4^2 = 3raiz32times 16 = 24raiz3 cm^2

Passo 5

Em uma pirâmide regular, a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro do hexágono. Nesse triângulo reto, a hipotenusa é l=5,cm e o cateto na base é o raio R do hexágono, que para um hexágono regular vale R=a=4,cm. A altura h satisfaz
h = raizl^2 - R^2 = raiz5^2 - 4^2 = raiz25 - 16 = 3 cm

Passo 6

O volume de qualquer pirâmide é
V = 13,Abase,h
Substituindo Abase=24raiz3,cm ^2 e h=3,cm,
V = 13times 24raiz3times 3 = 24raiz3 cm^3

Resposta

24raiz3 c m^3

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