Calcule o volume de uma pirâmide hexagonal regular, sendo 24 cm o perímetro da base e 30 cm a soma dos comprimentos de todas as arestas laterais.
Passo 1
O enunciado pede o volume de uma pirâmide hexagonal regular cuja base é um hexágono regular de perímetro
,cm e cujas seis arestas laterais têm soma igual a
,cm. Vamos usar:
. Fórmula da área do hexágono regular.
. Relação entre perímetro e lado.
. Relação entre soma das arestas laterais e a aresta lateral.
. Teorema de Pitágoras no triângulo formado pela aresta lateral, o raio da base e a altura da pirâmide.
. Fórmula do volume da pirâmide.
Passo 2
Como o perímetro da base é
,cm e a base tem
lados iguais, seja
o comprimento de cada lado. Então
logo
Passo 3
A soma das seis arestas laterais vale
,cm. Sejam todas elas de comprimento
. Então
logo
Passo 4
A área da base, um hexágono regular de lado
, é dada por
Substituindo
,cm:
Passo 5
Em uma pirâmide regular, a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro do hexágono. Nesse triângulo reto, a hipotenusa é
,cm e o cateto na base é o raio
do hexágono, que para um hexágono regular vale
,cm. A altura
satisfaz
Passo 6
O volume de qualquer pirâmide é
Substituindo
,cm
e
,cm,