Calcule o volume de um prisma triangular regular de 5 raiz3 cm de altura, sabendo que a área lateral excede a área da base em 56 raiz3 cm^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um prisma triangular regular cuja altura é h = 5raiz3 cm, sabendo que sua área lateral excede a área da base em 56raiz3 c m^2. Vamos usar:
– Área de base de um triângulo equilátero de lado a:
Ab = a^2raiz34
– Área lateral de um prisma: perímetro da base vezes a altura, ou seja
Al = (3a),h
– Volume do prisma:
V = Abcdot h

Passo 2

A condição do problema é
Al - Ab = 56raiz3
Substituindo Al = 3a,h e Ab = a^2raiz34 com h=5raiz3, temos
3a,(5raiz3) ;-;a^2raiz34 ;=;56raiz3

Passo 3

Dividindo ambos os lados por raiz3 e simplificando, obtém-se
15a ;-;a^24 = 56 Longrightarrow a^2-60a+224=0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática
a^2 - 60a + 224 = 0
o discriminante é
De<a = 60^2 - 4cdot1cdot224 =2704 =52^2,
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a = 60pm522 ;Longrightarrow; a1 = 4, a2 = 56

Passo 5

O volume é
V = Abcdot h = a^2raiz34;cdot;5raiz3 = 15,a^24
Para a1=4:
V1 = 15cdot4^24 = 15cdot164=60 cm^3
Para a2=56:
V2 = 15cdot56^24 = 15cdot31364=11760 cm^3

Resposta

V = 60 c m^3 ou V = 11760 c m^3.

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