Calcule o volume do sólido gerado por um triângulo retângulo isósceles, cujos catetos medem 3 m , ao girar em torno da paralela à hipotenusa traçada pelo vértice do ângulo reto.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo retângulo isósceles de catetos m e pede o volume do sólido obtido ao girar esse triângulo em torno de uma reta paralela à hipotenusa e passando pelo vértice do ângulo reto. O conteúdo chave aqui é o Teorema de Pappus (segunda lei), que afirma:
“O volume de um sólido gerado pela rotação de uma figura plana em torno de uma reta que não interseca o interior da figura é igual à área da figura vezes o comprimento da trajetória descrita pelo seu centroide.”
Passo 2
Para usar Pappus, precisamos da distância do centroide ao eixo de rotação. Posicionamos o triângulo assim: vértice do ângulo reto em , catetos ao longo dos eixos e , e hipotenusa ligando a .
O centroide de um triângulo é a média aritmética dos vértices, então
Passo 3
A reta de rotação é paralela à hipotenusa (que tem equação ) e passa por , logo sua equação é
A distância de a essa reta é
Passo 4
A área do triângulo retângulo isósceles de catetos 3 m é
A =12times 3 times 3 =92
Passo 5
Pelo Teorema de Pappus, o volume vale
V = A times (comprimento da circunferência de raio d) = A times 2pi d ê
Substituindo A=tfrac92 e d=raiz2, obtemos
V =92;times 2pi,raiz2 =9piraiz2
Resposta
O volume do sólido é 9piraiz2 metros cúbicos.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica - 7ª Edição - Capítulo 15.Exercícios - Ex. 1045