Calcule o volume do sólido gerado por um triângulo retângulo isósceles, cujos catetos medem 3 m , ao girar em torno da paralela à hipotenusa traçada pelo vértice do ângulo reto.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo retângulo isósceles de catetos 3 m e pede o volume do sólido obtido ao girar esse triângulo em torno de uma reta paralela à hipotenusa e passando pelo vértice do ângulo reto. O conteúdo chave aqui é o Teorema de Pappus (segunda lei), que afirma:
“O volume de um sólido gerado pela rotação de uma figura plana em torno de uma reta que não interseca o interior da figura é igual à área da figura vezes o comprimento da trajetória descrita pelo seu centroide.”

Passo 2

Para usar Pappus, precisamos da distância do centroide ao eixo de rotação. Posicionamos o triângulo assim: vértice do ângulo reto em O=(0,0), catetos ao longo dos eixos x e y, e hipotenusa ligando A=(3,0) a B=(0,3).
O centroide G de um triângulo é a média aritmética dos vértices, então
Gl(xG,yGr) =l(tfrac0+3+03,;tfrac0+0+33r) =(1,1)

Passo 3

A reta de rotação é paralela à hipotenusa (que tem equação x+y=3) e passa por O, logo sua equação é
x + y = 0
A distância de G=(1,1) a essa reta é
d =l|1+1r|raiz1^2+1^2 =2raiz2 =raiz2

Passo 4

A área do triângulo retângulo isósceles de catetos 3 m é
A =12times 3 times 3 =92

Passo 5

Pelo Teorema de Pappus, o volume vale
V = A times (comprimento da circunferência de raio d) = A times 2pi d ê
Substituindo A=tfrac92 e d=raiz2, obtemos
V =92;times 2pi,raiz2 =9piraiz2

Resposta

O volume do sólido é 9piraiz2 metros cúbicos.

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