(UF-RS) Um capital é aplicado por doze anos e seis meses a juros compostos de meio por cento ao mês.
Ao final desse período, o rendimento acumulado será igual, inferior ou superior a 100%? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado diz que um capital C é aplicado por 12 anos e 6 meses a juros compostos de 0,5% ao mês. Queremos saber se, ao fim desse período, o rendimento acumulado é igual a 100% (ou seja, se o montante duplica), inferior a 100% ou superior a 100%. O conteúdo envolvido é a fórmula do montante em juros compostos:
M = C,(1 + i)^n,
onde i é a taxa mensal e n o número de meses.

Passo 2

Convertendo o tempo em meses temos
n = 12,5 anostimes 12 mesesano = 150 meses,
e a taxa mensal é
i = 0,5% = 0,005
Logo o montante ao final de 150 meses é
M = C,(1,005)^150

Passo 3

Para que o rendimento seja exatamente 100%, precisaríamos de
M = 2C Long<=ftrightarrow (1,005)^150 = 2
Vamos verificar se (1,005)^150 é maior, igual ou menor que 2.

Passo 4

Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
(1,005)^150 ;>; 2 Long<=ftrightarrow 150 ,ln(1,005) ;>; ln 2
Como para x pequeno vale ln(1+x)approx x - tfracx^22, temos
ln(1,005) > 0,005 - (0,005)^22 = 0,005 - 0,0000125 = 0,0049875
Logo
150 ,ln(1,005) > 150 times 0,0049875 = 0,748125
E como ln 2 approx 0,6931, segue que
150 ,ln(1,005) = 0,748125 > 0,6931 = ln 2
Portanto (1,005)^150 > 2.

Resposta

O rendimento acumulado é superior a 100%.

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