12.3.14 Uma carga
é deslocada uma distância
ao longo do eixo
a partir do centro de uma cavidade esférica de raio
.
(a) Mostre que o campo elétrico médio sobre o volume
é zero.
(b) Mostre que o campo elétrico médio calculado sobre o volume
é
em que
é o numero de tais cargas deslocadas por unidade de volume. Esse é um cálculo básico na polarização de um dielétrico.
(a) Mostre que o campo elétrico médio sobre o volume
(b) Mostre que o campo elétrico médio calculado sobre o volume
Passo 1
O enunciado coloca uma carga
no ponto
dentro de uma cavidade esférica de raio
. Precisamos calcular o campo elétrico médio sobre duas regiões concêntricas:
- (a) a casca
, onde não há carga. - (b) a bola
, onde a carga fica na superfície interna.
Vamos usar expansão em polinômios de Legendre para o potencial de um dipolo deslocado e depois integrar em coordenadas esféricas para achar a média de
.
Passo 2
Para
o potencial de uma carga em
se escreve
O único termo que contribui para a média é
:
Dessa forma
Então
Passo 3
O campo médio em
é
com
.
O integral sobre é
O integral sobre
logo
.
Passo 4
Para
usamos a expansão interna
de onde, tomando
,
Segue
constante em todo o volume, então
.
Passo 5
Se houver
cargas idênticas por unidade de volume (cada “esfera” de raio
contém em média uma carga), multiplicamos por
. Usando
, obtém-se
Resposta
(a)
sobre
.
(b)
(b)