12.3.14 Uma carga q é deslocada uma distância a ao longo do eixo z a partir do centro de uma cavidade esférica de raio R.
(a) Mostre que o campo elétrico médio sobre o volume a \leq r \leq R é zero.
(b) Mostre que o campo elétrico médio calculado sobre o volume 0 \leq r \leq a é
\mathbf{E}=\hat{\mathbf{z}} E_{z}=-\hat{\mathbf{z}} \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} a^{2}} \quad(\text { unidades SI })=-\hat{\mathbf{z}} \frac{n q a}{3 \varepsilon_{0}}
em que n é o numero de tais cargas deslocadas por unidade de volume. Esse é um cálculo básico na polarização de um dielétrico.

Passo 1

O enunciado coloca uma carga q no ponto (0,0,a) dentro de uma cavidade esférica de raio R. Precisamos calcular o campo elétrico médio sobre duas regiões concêntricas:
  • (a) a casca a\le r\le R, onde não há carga.
  • (b) a bola 0\le r\le a, onde a carga fica na superfície interna.
Vamos usar expansão em polinômios de Legendre para o potencial de um dipolo deslocado e depois integrar em coordenadas esféricas para achar a média de E_z.

Passo 2

Para r\ge a o potencial de uma carga em (0,0,a) se escreve
V(r,\theta) =\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{\ell=0}^\infty\frac{a^\ell}{r^{\ell+1}}P_\ell(\cos\theta).
O único termo que contribui para a média é \ell=1:
V_1(r,\theta) =\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{a}{r^2}\cos\theta.
Dessa forma
E_r=-\partial_rV_1 =\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{2a\cos\theta}{r^3}, \quad E_\theta=-\frac1r\partial_\theta V_1 =\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{a\sin\theta}{r^3}.
Então
E_z =E_r\cos\theta - E_\theta\sin\theta =\frac{q\,a}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{3\cos^2\theta-1}{r^3}.

Passo 3

O campo médio em a\le r\le R é
\langle E_z\rangle =\frac{1}{V}\!\int_{\!a}^{R}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{2\pi} \frac{q\,a}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{3\cos^2\theta-1}{r^3}\,r^2\sin\theta\, d\varphi\,d\theta\,dr,
com V=\tfrac{4\pi}{3}(R^3-a^3).
O integral sobre \theta é
\int_0^\pi(3\cos^2\theta-1)\sin\theta\,d\theta =\Bigl[\cos^3\theta-\cos\theta\Bigr]_0^\pi=0,
logo \langle E_z\rangle=0.

Passo 4

Para r\le a usamos a expansão interna
V(r,\theta) =\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{\ell=0}^\infty\frac{r^\ell}{a^{\ell+1}}P_\ell(\cos\theta),
de onde, tomando \ell=1,
V_1(r,\theta) =\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{r}{a^2}\cos\theta \;\Longrightarrow\; E_r=-\partial_rV_1 =-\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\cos\theta}{a^2}, \quad E_\theta=-\frac1r\partial_\theta V_1 =\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\sin\theta}{a^2}.
Segue
E_z =E_r\cos\theta - E_\theta\sin\theta =-\frac{q}{4\pi\varepsilon_0\,a^2},
constante em todo o volume, então
\mathbf E=-\hat{\mathbf z}\,\tfrac{q}{4\pi\varepsilon_0a^2}.

Passo 5

Se houver n cargas idênticas por unidade de volume (cada “esfera” de raio a contém em média uma carga), multiplicamos por n. Usando
\tfrac{4\pi a^3}{3}n=1, obtém-se
-\hat{\mathbf z}\,n\,\frac{q}{4\pi\varepsilon_0a^2} =-\hat{\mathbf z}\,\frac{n\,q\,a}{3\varepsilon_0}.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf E_{\rm média}=0é sobre a\le r\le R.
(b) \displaystyle \mathbf E=-\hat{\mathbf z}\,\frac{q}{4\pi\varepsilon_0a^2} =-\hat{\mathbf z}\,\frac{n\,q\,a}{3\varepsilon_0}.

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