12.3.10 Prove que
Passo 1
Resumimos o enunciado: queremos calcular
e mostrar que
para
, enquanto para
e
obtém-se as fórmulas indicadas.
O conteúdo envolve propriedades dos polinômios de Legendre, em particular a identidade de derivada e a ortogonalidade
O conteúdo envolve propriedades dos polinômios de Legendre, em particular a identidade de derivada e a ortogonalidade
Passo 2
Usamos a identidade clássica para a derivada de
:
Análogo para
. Substituindo em
vem
Passo 3
Expandimos o integrando:
Cada termo é da forma
com
. Usamos a relação de três termos
para reduzir potências de
a combinações de
. Pela ortogonalidade de
, qualquer integral
anula-se se
.
Concluímos imediatamente que a menos que um dos quatro produtos gere
, o que só ocorre quando
.
Concluímos imediatamente que
Passo 4
Caso
. Então só sobrevivem na expansão dois termos que geram
e
.
Ao coletar coeficientes obtém-se, após contas algébricas com
,
e ,
o resultado
Ao coletar coeficientes obtém-se, após contas algébricas com
e
o resultado
Passo 5
Caso
. Analogamente, somente dois termos produzem
e
.
Repetindo a mesma redução e usando ortogonalidade chega-se a
Repetindo a mesma redução e usando ortogonalidade chega-se a