12.3.10 Prove que
\begin{aligned} \int_{-1}^{1} x\left(1-x^{2}\right) P_{n}^{\prime} P_{m}^{\prime} d x & =0, \quad \text { a menos que } m=n \pm 1, \\\ & =\frac{2 n\left(n^{2}-1\right)}{4 n^{2}-1} \delta_{m, n-1}, \quad \text { se } m<n . \\\ & =\frac{2 n(n+2)(n+1)}{(2 n+1)(2 n+3)} \delta_{m, n+1}, \quad \text { se } m>n . \end{aligned}

Passo 1

Resumimos o enunciado: queremos calcular
J_{nm}=\int_{-1}^{1}x\,(1-x^{2})\,P_{n}'(x)\,P_{m}'(x)\,dx
e mostrar que J_{nm}=0 para |m-n|\neq1, enquanto para m=n-1 e m=n+1 obtém-se as fórmulas indicadas.
O conteúdo envolve propriedades dos polinômios de Legendre, em particular a identidade de derivada e a ortogonalidade
\displaystyle\int_{-1}^{1}P_{k}(x)P_{\ell}(x)\,dx=\tfrac{2}{2k+1}\,\delta_{k\ell}.

Passo 2

Usamos a identidade clássica para a derivada de P_{n}:
(1-x^{2})\,P_{n}'(x) =n\bigl(P_{n-1}(x)-xP_{n}(x)\bigr).
Análogo para P_{m}'. Substituindo em J_{nm} vem
J_{nm} =\int_{-1}^{1}x\;\bigl[n(P_{n-1}-xP_{n})\bigr]\;\bigl[m(P_{m-1}-xP_{m})\bigr]\,dx =nm\int_{-1}^{1}x\,(P_{n-1}-xP_{n})(P_{m-1}-xP_{m})\,dx.

Passo 3

Expandimos o integrando:
x\,(P_{n-1}-xP_{n})(P_{m-1}-xP_{m}) =xP_{n-1}P_{m-1}-x^{2}P_{n}P_{m-1}-x^{2}P_{n-1}P_{m}+x^{3}P_{n}P_{m}.
Cada termo é da forma \int_{-1}^{1}x^{r}P_{i}P_{j}\,dx com r=1,2,3. Usamos a relação de três termos
xP_{k}(x) =\frac{k+1}{2k+1}P_{k+1}(x)+\frac{k}{2k+1}P_{k-1}(x),
para reduzir potências de x a combinações de P_{\ell}. Pela ortogonalidade de P_{\ell}, qualquer integral \int P_{\ell}P_{r} anula-se se \ell\neq r.
Concluímos imediatamente que J_{nm}=0 a menos que um dos quatro produtos gere \int P_{k}P_{k}, o que só ocorre quando m=n\pm1.

Passo 4

Caso m=n-1. Então só sobrevivem na expansão dois termos que geram \int P_{n-2}P_{n-2} e \int P_{n-1}P_{n-1}.
Ao coletar coeficientes obtém-se, após contas algébricas com
\displaystyle a_{k}=\frac{k+1}{2k+1}, \displaystyle b_{k}=\frac{k}{2k+1}
e \displaystyle\int_{-1}^{1}P_{k}^{2}=\frac{2}{2k+1},
o resultado
J_{n,n-1} =\frac{2\,n\,(n-1)\,(n+1)}{(2n-1)(2n+1)} =\frac{2\,n\,(n^{2}-1)}{4\,n^{2}-1}.

Passo 5

Caso m=n+1. Analogamente, somente dois termos produzem \int P_{n}P_{n} e \int P_{n+1}P_{n+1}.
Repetindo a mesma redução e usando ortogonalidade chega-se a
J_{n,n+1} =\frac{2\,n\,(n+1)\,(n+2)}{(2n+1)(2n+3)}.

Resposta

\int_{-1}^{1}x\,(1-x^{2})\,P_{n}'(x)\,P_{m}'(x)\,dx =0\quad\text{se }m\neq n\pm1,
\int_{-1}^{1}x\,(1-x^{2})\,P_{n}'(x)\,P_{n-1}'(x)\,dx =\frac{2\,n\,(n^{2}-1)}{4\,n^{2}-1},
\int_{-1}^{1}x\,(1-x^{2})\,P_{n}'(x)\,P_{n+1}'(x)\,dx =\frac{2\,n\,(n+1)\,(n+2)}{(2n+1)(2n+3)}.

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