1.5.2 Verifique a expansão do produto vetorial triplo
A times(B times C)=B(A cdot C)-C(A cdot B)
por expansão direta em coordenadas cartesianas.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade do produto vetorial triplo
Atimes(BtimesC) =B(AcdotC)-C(AcdotB)
por expansão direta em coordenadas cartesianas. O conteúdo é álgebra vetorial: usaremos as definições de produto escalar e vetorial em componentes.

Passo 2

Sejam
A=(Ax,Ay,Az), B=(Bx,By,Bz), C=(Cx,Cy,Cz)
O produto escalar é
AcdotB=AxBx+AyBy+AzBz
e o vetorial em coordenadas é dado por determinante.

Passo 3

Calculemos primeiro
D=BtimesC.
Pela fórmula,
BtimesC =(ByCz - BzCy,;BzCx - BxCz,;BxCy - ByCx)

Passo 4

Agora calculemos
AtimesD=Atimes(BtimesC).
Pela definição,
AtimesD =(AyDz - AzDy,;AzDx - AxDz,;AxDy - AyDx)
Substituindo Dx,ByCz-cdots etc., obtemos para a componente x:
Ay(BxCy - ByCx)-Az(BzCx - BxCz) =AyBxCy - AyByCx - AzBzCx + AzBxCz
As componentes y,z saem por permutação cíclica.

Passo 5

Agora calculemos
B(AcdotC) - C(AcdotB).
Como AcdotC=AxCx+AyCy+AzCz e AcdotB=AxBx+AyBy+AzBz, a componente x do vetor resultante é
Bx(AxCx + AyCy + AzCz) - Cx(AxBx + AyBy + AzBz),
que expande exatamente para
AyBxCy - AyByCx - AzBzCx + AzBxCz
O mesmo ocorre para y e z.

Passo 6

Como cada componente de Atimes(BtimesC) coincide com a respectiva componente de B(AcdotC)-C(AcdotB), concluímos que a identidade está verificada.

Resposta

A expansão direta em coordenadas mostra que
Atimes(BtimesC) =B(AcdotC)-C(AcdotB)

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