1.5.2 Verifique a expansão do produto vetorial triplo
por expansão direta em coordenadas cartesianas.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a identidade do produto vetorial triplo
por expansão direta em coordenadas cartesianas. O conteúdo é álgebra vetorial: usaremos as definições de produto escalar e vetorial em componentes.
Passo 2
Sejam
O produto escalar é
e o vetorial em coordenadas é dado por determinante.
e o vetorial em coordenadas é dado por determinante.
Passo 3
Calculemos primeiro
.
Pela fórmula,
Pela fórmula,
Passo 4
Agora calculemos
.
Pela definição,
Pela definição,
Substituindo
etc., obtemos para a componente
:
As componentes
saem por permutação cíclica.
Passo 5
Agora calculemos
.
Como e
, a componente
do vetor resultante é
Como
que expande exatamente para
O mesmo ocorre para
e
.
Passo 6
Como cada componente de
coincide com a respectiva componente de
, concluímos que a identidade está verificada.
Resposta
A expansão direta em coordenadas mostra que