1.5.2 Verifique a expansão do produto vetorial triplo
\mathbf{A} \times(\mathbf{B} \times \mathbf{C})=\mathbf{B}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{C})-\mathbf{C}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})
por expansão direta em coordenadas cartesianas.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade do produto vetorial triplo
\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) =\mathbf{B}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C})-\mathbf{C}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})
por expansão direta em coordenadas cartesianas. O conteúdo é álgebra vetorial: usaremos as definições de produto escalar e vetorial em componentes.

Passo 2

Sejam
\mathbf{A}=(A_x,A_y,A_z), \quad \mathbf{B}=(B_x,B_y,B_z), \quad \mathbf{C}=(C_x,C_y,C_z).
O produto escalar é
\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z
e o vetorial em coordenadas é dado por determinante.

Passo 3

Calculemos primeiro
\mathbf{D}=\mathbf{B}\times\mathbf{C}.
Pela fórmula,
\mathbf{B}\times\mathbf{C} =(B_yC_z - B_zC_y,\;B_zC_x - B_xC_z,\;B_xC_y - B_yC_x).

Passo 4

Agora calculemos
\mathbf{A}\times\mathbf{D}=\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}).
Pela definição,
\mathbf{A}\times\mathbf{D} =(A_yD_z - A_zD_y,\;A_zD_x - A_xD_z,\;A_xD_y - A_yD_x).
Substituindo D_x,B_yC_z-\cdots etc., obtemos para a componente x:
A_y(B_xC_y - B_yC_x)-A_z(B_zC_x - B_xC_z) =A_yB_xC_y - A_yB_yC_x - A_zB_zC_x + A_zB_xC_z.
As componentes y,z saem por permutação cíclica.

Passo 5

Agora calculemos
\mathbf{B}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}) - \mathbf{C}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}).
Como \mathbf{A}\cdot\mathbf{C}=A_xC_x+A_yC_y+A_zC_z e \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z, a componente x do vetor resultante é
B_x(A_xC_x + A_yC_y + A_zC_z) - C_x(A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z),
que expande exatamente para
A_yB_xC_y - A_yB_yC_x - A_zB_zC_x + A_zB_xC_z.
O mesmo ocorre para y e z.

Passo 6

Como cada componente de \mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) coincide com a respectiva componente de \mathbf{B}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C})-\mathbf{C}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}), concluímos que a identidade está verificada.

Resposta

A expansão direta em coordenadas mostra que
\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) =\mathbf{B}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C})-\mathbf{C}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}).

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