Para o caso muito especial \lambda=0 e q(x)=0 a equação de autovalor adjunta se torna
\frac{d}{d x}\left[p(x) \frac{d u(x)}{d x}\right]=0
satisfeita por
\frac{d u}{d x}=\frac{1}{p(x)}
Use essa expressão para obter uma “segunda” solução para o seguinte:
(c) Equação de Hermite.
Nota: Em todos os três casos, u_{1}(x)=1.

Passo 1

O enunciado diz que, no caso especial \lambda=0 e q(x)=0, a equação adjunta de Sturm–Liouville reduz-se a
\frac{d}{dx}\bigl[p(x)\,\frac{du}{dx}\bigr]=0
e, portanto,
\frac{du}{dx}=\frac{1}{p(x)}.
Queremos aplicar isso ao caso da equação de Hermite, sabendo que já temos uma solução trivial u_{1}(x)=1 e buscamos uma segunda solução u_{2}(x).

Passo 2

A equação de Hermite no formato auto-adjunto é
\frac{d}{dx}\Bigl(e^{-x^{2}}\frac{dy}{dx}\Bigr)+\lambda\,e^{-x^{2}}\,y=0.
Comparando com \bigl(p(x)\,u'\bigr)'+\lambda\,w(x)\,u=0, vemos que
p(x)=e^{-x^{2}},\quad w(x)=e^{-x^{2}},\quad q(x)=0.

Passo 3

Pelo resultado geral para \lambda=0, temos
\frac{du_{2}}{dx}=\frac{1}{p(x)}=e^{x^{2}}.
Integramos em x para achar u_{2}(x).

Passo 4

Integrando,
u_{2}(x)=\int e^{x^{2}}\,dx.
Como essa integral não se expressa em funções elementares usuais, deixamos em termos de função de erro imaginária ou simplesmente a integral indefinida.

Resposta

A segunda solução para \lambda=0 na equação de Hermite é
u_{2}(x)=\int^{x}e^{t^{2}}\,dt,
juntamente com a solução trivial u_{1}(x)=1.

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