Para o caso muito especial
e
a equação de autovalor adjunta se torna
satisfeita por
Use essa expressão para obter uma “segunda” solução para o seguinte:
(c) Equação de Hermite.
Nota: Em todos os três casos,
.
(c) Equação de Hermite.
Passo 1
O enunciado diz que, no caso especial
e
, a equação adjunta de Sturm–Liouville reduz-se a
e, portanto,
Queremos aplicar isso ao caso da equação de Hermite, sabendo que já temos uma solução trivial
e buscamos uma segunda solução
.
Passo 2
A equação de Hermite no formato auto-adjunto é
Comparando com
, vemos que
Passo 3
Pelo resultado geral para
, temos
Integramos em
para achar
.
Passo 4
Integrando,
Como essa integral não se expressa em funções elementares usuais, deixamos em termos de função de erro imaginária ou simplesmente a integral indefinida.
Resposta
A segunda solução para
na equação de Hermite é
juntamente com a solução trivial
.