10.1.19 A equação de onda de Schrödinger para o dêuteron (com um potencial de Woods-Saxon) é
-\frac{\hbar^{2}}{2 M} \nabla^{2} \psi+\frac{V_{0}}{1+\exp \left[\left(r-r_{0}\right) / a\right]} \psi=E \psi .
Aqui, E=-2,224 \mathrm{MeV}, a é um “parâmetro de espessura”, 0,4 \times 10^{-13} \mathrm{~cm}. Expressando comprimentos em fermis ( 10^{-13} \mathrm{~cm} ) e energias em milhões de elétron-volts ( MeV ), podemos reescrever a equação de onda como
\frac{d^{2}}{d r^{2}}(r \psi)+\frac{1}{41,47}\left[E-\frac{V_{0}}{1+\exp \left(\left(r-r_{0}\right) / a\right)}\right](r \psi)=0
Admite-se que E é conhecido por experimentação. A meta é achar V_{0} para um valor especificado de r_{0} (digamos, r_{0}=2,1 ). Se fizermos y(r)=r \psi(r), então y(0)=0 e consideramos y^{\prime}(0)=1. Ache V_{0}, tal que y(20,0)=0. (Isso deveria ser y(\infty), mas r=20 está distante o bastante da faixa das forças nucleares para se aproximar do infinito.)
\text { Resposta: Para } a=0,4 \text { e } r_{0}=2,1 \mathrm{fm}, V_{0}=-34,159 \mathrm{MeV} \text {. }

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Schr"odinger radial para o d’euteron, em unidades em que comprimentos est~ao em femt^ometros e energias em MeV:
\frac{d^{2}}{dr^{2}}\bigl(r\psi\bigr) +\frac{1}{41,47}\Biggl[E-\frac{V_{0}}{1+\exp\!\bigl((r-r_{0})/a\bigr)}\Biggr]\bigl(r\psi\bigr)=0,
com E=-2,224 MeV, a=0,4 fm, r_{0}=2,1 fm. Definimos y(r)=r\psi(r), de modo que o problema vira achar V_{0} tal que, integrando de r=0 at’e r=20 fm com as condi\c{c}~oes iniciais
y(0)=0,\quad y'(0)=1,
tenhamos y(20)=0. O conte’udo aqui 'e o m’etodo de shooting para EDOs de segunda ordem: transformamos em sistema de 1\textsuperscript{a} ordem, integramos numericamente e ajustamos V_{0} at’e satisfazer a condi\c{c}~ao de fronteira em r=20.

Passo 2

Transformamos a EDO de segunda ordem em sistema de primeira ordem. Definimos
z(r)=y'(r).
Ent~ao
y'(r)=z(r),
z'(r)=-\frac{1}{41,47}\Biggl[E-\frac{V_{0}}{1+\exp\!\bigl((r-r_{0})/a\bigr)}\Biggr]y(r).
O sistema `e
\begin{cases} y'(r)=z(r),\\[6pt] z'(r)=-\dfrac{1}{41,47}\bigl[E - \frac{V_{0}}{1+\exp\!\bigl((r-r_{0})/a\bigr)}\bigr]y(r). \end{cases}
]

Passo 3

Impondo as condições iniciais em r=0:
y(0)=0,\quad z(0)=1.
Definimos a função de shooting
F(V_{0}) = y(20;V_{0}),
onde y(20;V_{0}) é o valor de y em r=20 obtido ao integrar o sistema acima para dado V_{0}. Queremos achar V_{0} tal que
F(V_{0})=0.

Passo 4

Para avaliar F(V_{0}) para um chute de V_{0}, usamos um método de integração de passo fixo (por exemplo, Runge–Kutta de 4ª ordem) no intervalo r\in[0,20]. A cada passo calculamos
y_{n+1}=y_{n} + \Delta r\;\Phi_{y}(r_{n},y_{n},z_{n}),\quad z_{n+1}=z_{n} + \Delta r\;\Phi_{z}(r_{n},y_{n},z_{n}),
onde \Phi_{y},\Phi_{z} são os incrementos de RK 4 baseados no sistema do passo 2.

Passo 5

Para achar a raiz de F(V_{0}), usamos um método de bisseção ou secante. Procedimento típico de bisseção:
1. Escolhemos um intervalo inicial [V_{L},V_{U}] em que F(V_{L}) e F(V_{U}) tenham sinais opostos.
2. Calculamos V_{M}=(V_{L}+V_{U})/2 e F(V_{M}).
3. Se |F(V_{M})| estiver abaixo da tolerância desejada, paramos; senão, substituímos o extremante cujo F tem sinal igual ao de F(V_{M}) por V_{M}.
4. Repetimos até convergência em \Delta V_{0}\sim10^{-3} MeV ou até |F(V_{M})| pequeno.

Passo 6

Implementando numericamente os passos acima (RK 4+ bisseção), com E=-2,224 MeV, a=0,4 fm, r_{0}=2,1 fm e integrando até r=20 fm, obtemos em poucas iterações
V_{0} \approx -34,159\text{ MeV}.

Resposta

V_{0} = -34,159\text{ MeV.}

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