Aqui, E=-2,224 \mathrm{MeV}, a é um “parâmetro de espessura”, 0,4 \times 10^{-13} \mathrm{~cm}. Expressando comprimentos em fermis ( 10^{-13} \mathrm{~cm} ) e energias em milhões de elétron-volts ( MeV ), podemos reescrever a equação de onda como
Admite-se que E é conhecido por experimentação. A meta é achar V_{0} para um valor especificado de r_{0} (digamos, r_{0}=2,1 ). Se fizermos y(r)=r \psi(r), então y(0)=0 e consideramos y^{\prime}(0)=1. Ache V_{0}, tal que y(20,0)=0. (Isso deveria ser y(\infty), mas r=20 está distante o bastante da faixa das forças nucleares para se aproximar do infinito.)
\text { Resposta: Para } a=0,4 \text { e } r_{0}=2,1 \mathrm{fm}, V_{0}=-34,159 \mathrm{MeV} \text {. }
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Schr"odinger radial para o d’euteron, em unidades em que comprimentos est~ao em femt^ometros e energias em MeV:
com E=-2,224 MeV, a=0,4 fm, r_{0}=2,1 fm. Definimos y(r)=r\psi(r), de modo que o problema vira achar V_{0} tal que, integrando de r=0 at’e r=20 fm com as condi\c{c}~oes iniciais
y(0)=0,\quad y'(0)=1,
tenhamos y(20)=0. O conte’udo aqui 'e o m’etodo de shooting para EDOs de segunda ordem: transformamos em sistema de 1\textsuperscript{a} ordem, integramos numericamente e ajustamos V_{0} at’e satisfazer a condi\c{c}~ao de fronteira em r=20.
Passo 2
Transformamos a EDO de segunda ordem em sistema de primeira ordem. Definimos
onde y(20;V_{0}) é o valor de y em r=20 obtido ao integrar o sistema acima para dado V_{0}. Queremos achar V_{0} tal que
F(V_{0})=0.
Passo 4
Para avaliar F(V_{0}) para um chute de V_{0}, usamos um método de integração de passo fixo (por exemplo, Runge–Kutta de 4ª ordem) no intervalo r\in[0,20]. A cada passo calculamos
onde \Phi_{y},\Phi_{z} são os incrementos de RK4 baseados no sistema do passo 2.
Passo 5
Para achar a raiz de F(V_{0}), usamos um método de bisseção ou secante. Procedimento típico de bisseção: 1. Escolhemos um intervalo inicial [V_{L},V_{U}] em que F(V_{L}) e F(V_{U}) tenham sinais opostos. 2. Calculamos V_{M}=(V_{L}+V_{U})/2 e F(V_{M}). 3. Se |F(V_{M})| estiver abaixo da tolerância desejada, paramos; senão, substituímos o extremante cujo F tem sinal igual ao de F(V_{M}) por V_{M}. 4. Repetimos até convergência em \Delta V_{0}\sim10^{-3} MeV ou até |F(V_{M})| pequeno.
Passo 6
Implementando numericamente os passos acima (RK4+ bisseção), com E=-2,224 MeV, a=0,4 fm, r_{0}=2,1 fm e integrando até r=20 fm, obtemos em poucas iterações
V_{0} \approx -34,159\text{ MeV}.
Resposta
V_{0} = -34,159\text{ MeV.}
Cálculo - George Arfken - Métodos Matemáticos para Engenharia e Física - 7ª Edição - Capítulo 10.1 - Ex. 10.1.19