10.1.4 Mostre o seguinte quando a equação diferencial linear de segunda ordem é expressa em forma auto-adjunta:
(a) O wronskiano é igual a uma constante dividida pelo coeficiente inicial p :
W(x)=\frac{C}{p(x)}
(b) Uma segunda solução é dada por
y_{2}(x)=C y_{1}(x) \int^{x} \frac{d t}{p(t)\left[y_{1}(t)\right]^{2}}

Passo 1

O enunciado trata de uma equação diferencial linear de segunda ordem na forma auto– adjunta
\bigl(p(x)y'\bigr)'+q(x)\,y=0,
onde p e q são dadas funções de x. Queremos mostrar que
1. o wronskiano W(x)=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2} satisfaz
W(x)=\frac{C}{p(x)},
para alguma constante C,
2. a segunda solução y_{2} pode ser obtida a partir de uma solução conhecida y_{1} por
y_{2}(x)=C\,y_{1}(x)\int^{x}\frac{dt}{p(t)\bigl[y_{1}(t)\bigr]^{2}}.
Vamos usar propriedades do wronskiano e o método de redução de ordem.

Passo 2

Derivamos o wronskiano
W(x)=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.
Tomando derivada em x,
W' = y_{1}'y_{2}'+y_{1}y_{2}'' - y_{1}''y_{2}-y_{1}'y_{2}' = y_{1}y_{2}''-y_{1}''y_{2}.
Como cada y_{i} satisfaz \bigl(p\,y_{i}'\bigr)'+q\,y_{i}=0, temos
y_{i}'' = -\frac{p'\,y_{i}'+q\,y_{i}}{p}.
Substituindo em W',
W' = y_{1}\Bigl(-\frac{p'\,y_{2}'+q\,y_{2}}{p}\Bigr) - \Bigl(-\frac{p'\,y_{1}'+q\,y_{1}}{p}\Bigr)y_{2} = -\frac{p'}{p}(y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}) = -\frac{p'}{p}\,W.

Passo 3

Resolvendo a equação de primeira ordem
W' + \frac{p'}{p}\,W = 0
podemos escrever
\frac{W'}{W} = -\frac{p'}{p} \quad\Longrightarrow\quad \ln|W| = -\ln p + \ln C \quad\Longrightarrow\quad W(x)=\frac{C}{p(x)},
com constante de integração C. Isso prova o item (a).

Passo 4

Para achar uma segunda solução diferente de y_{1}, aplicamos o método de redução de ordem, supondo
y_{2}(x)=v(x)\,y_{1}(x).
Calcula– se v' forçando o wronskiano correto:
W = y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2} = y_{1}(v'y_{1}+v\,y_{1}') - y_{1}'(v\,y_{1}) = v'\,y_{1}^{2}.
Como já vimos W=C/p, segue
v'(x)=\frac{W}{y_{1}^{2}}=\frac{C}{p(x)\,y_{1}(x)^{2}}.
Integramos para obter v:
v(x)=\int^{x}\frac{C\,dt}{p(t)\bigl[y_{1}(t)\bigr]^{2}}.
Logo
y_{2}(x)=y_{1}(x)\,v(x) = C\,y_{1}(x)\int^{x}\frac{dt}{p(t)\bigl[y_{1}(t)\bigr]^{2}},
o que prova o item (b).

Resposta

(a) \displaystyle W(x)=\frac{C}{p(x)}
(b) \displaystyle y_{2}(x)=C\,y_{1}(x)\int^{x}\frac{dt}{p(t)\,[y_{1}(t)]^{2}}

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