10.1.4 Mostre o seguinte quando a equação diferencial linear de segunda ordem é expressa em forma auto-adjunta:
(a) O wronskiano é igual a uma constante dividida pelo coeficiente inicial
:
(b) Uma segunda solução é dada por
(a) O wronskiano é igual a uma constante dividida pelo coeficiente inicial
Passo 1
O enunciado trata de uma equação diferencial linear de segunda ordem na forma auto– adjunta
onde
e
são dadas funções de
. Queremos mostrar que
. o wronskiano
satisfaz
para alguma constante
,
. a segunda solução
pode ser obtida a partir de uma solução conhecida
por
Vamos usar propriedades do wronskiano e o método de redução de ordem.
Passo 2
Derivamos o wronskiano
Tomando derivada em
,
Como cada
satisfaz
, temos
Substituindo em
,
Passo 3
Resolvendo a equação de primeira ordem
podemos escrever
com constante de integração
. Isso prova o item (a).
Passo 4
Para achar uma segunda solução diferente de
, aplicamos o método de redução de ordem, supondo
Calcula– se
forçando o wronskiano correto:
Como já vimos
, segue
Integramos para obter
:
Logo
o que prova o item (b).
Resposta
(a)
(b)
(b)