10.1.3 Mostre que a EDO de Chebyshev (tipo I), Equação (13.100), pode ser posta em forma auto-adjunta multiplicando por \left(1-x^{2}\right)^{-1 / 2} e que isso dá w(x)=\left(1-x^{2}\right)^{-1 / 2} como a função densidade adequada.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial de Chebyshev tipo I, dada por
(1 - x^{2})\,y'' - x\,y' + n^{2}\,y = 0,
pode ser posta em forma auto-adjunta (Sturm–Liouville) ao multiplicarmos por (1 - x^{2})^{-1/2}. Isso vai revelar a função peso w(x).

Passo 2

Recordando a forma geral auto-adjunta (Sturm–Liouville)
\frac{d}{dx}\bigl[p(x)\,y'\bigr] + \bigl[\lambda\,w(x) - q(x)\bigr]\,y = 0,
vemos que, na equação de Chebyshev, ainda não aparecem termos na forma \frac{d}{dx}(p\,y'). Nosso objetivo é escolher um fator integrante para criar esse derivado total.

Passo 3

Multiplicamos a equação de Chebyshev por (1 - x^{2})^{-1/2}. Assim obtém-se
(1 - x^{2})^{-1/2}\Bigl[(1 - x^{2})\,y'' - x\,y'\Bigr] + n^{2}\,(1 - x^{2})^{-1/2}\,y = 0,
ou seja
(1 - x^{2})^{1/2}\,y'' \;-\; x\,(1 - x^{2})^{-1/2}\,y' \;+\; n^{2}\,(1 - x^{2})^{-1/2}\,y = 0.

Passo 4

Observamos que
\frac{d}{dx}\Bigl[(1 - x^{2})^{1/2}\,y'\Bigr] = (1 - x^{2})^{1/2}\,y'' \;+\; \frac{d}{dx}\bigl[(1 - x^{2})^{1/2}\bigr]\,y' = (1 - x^{2})^{1/2}\,y'' - x\,(1 - x^{2})^{-1/2}\,y'.
Portanto a equação fica
\frac{d}{dx}\Bigl[(1 - x^{2})^{1/2}\,y'\Bigr] + n^{2}\,(1 - x^{2})^{-1/2}\,y = 0,
que já está no formato Sturm–Liouville com
p(x) = (1 - x^{2})^{1/2}, \quad q(x) = 0, \quad \lambda = n^{2}, \quad w(x) = (1 - x^{2})^{-1/2}.

Passo 5

Concluímos que o fator integrante (1 - x^{2})^{-1/2} transforma a EDO de Chebyshev tipo I em forma auto-adjunta, e a função densidade (peso) resultante é
w(x) = (1 - x^{2})^{-1/2].

Resposta

A forma auto-adjunta surge multiplicando por (1 - x^{2})^{-1/2} e a função peso é
w(x) = (1 - x^{2})^{-1/2}.

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