10.1.3 Mostre que a EDO de Chebyshev (tipo I), Equação (13.100), pode ser posta em forma auto-adjunta multiplicando por
e que isso dá
como a função densidade adequada.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial de Chebyshev tipo I, dada por
pode ser posta em forma auto-adjunta (Sturm–Liouville) ao multiplicarmos por
. Isso vai revelar a função peso
.
Passo 2
Recordando a forma geral auto-adjunta (Sturm–Liouville)
vemos que, na equação de Chebyshev, ainda não aparecem termos na forma
. Nosso objetivo é escolher um fator integrante para criar esse derivado total.
Passo 3
Multiplicamos a equação de Chebyshev por
. Assim obtém-se
ou seja
Passo 4
Observamos que
Portanto a equação fica
que já está no formato Sturm–Liouville com
Passo 5
Concluímos que o fator integrante
transforma a EDO de Chebyshev tipo I em forma auto-adjunta, e a função densidade (peso) resultante é
Resposta
A forma auto-adjunta surge multiplicando por
e a função peso é