Considere que as soluções das equações de Legendre, Chebyshev, Hermite e Laguerre são polinômios. Mostre que os intervalos de integração que garantem que as condições de contorno do operador hermitiano serão satisfeitas são
(c) Hermite
,
(c) Hermite
Passo 1
O problema pede para mostrar que, no caso da equação de Hermite, o operador diferencial associado é hermitiano quando tomamos o intervalo de integração
. Para isso vamos:
- Identificar a forma de Sturm–Liouville da equação de Hermite.
- Extrair as funções
e (peso). - Verificar que o termo de contorno
se anula para polinômios de Hermite e, portanto, garante auto-adjointness.
Passo 2
A equação diferencial de Hermite écrita em forma padrão é
Multiplicando por
e reescrevendo, obtemos a forma de Sturm–Liouville
Dessa forma, identificamos
Passo 3
Para provar que o operador é hermitiano, consideramos dois polinômios de Hermite qualquer
e
. O termo de contorno é
Como
e
são polinômios de grau finito, seus produtos com derivadas crescem no máximo como potência de
. Em contrapartida,
decai muito mais rápido (gaussiana). Logo,
Isso implica que o termo de contorno é zero quando o intervalo é
.
Passo 4
Como o termo de contorno se anula, o operador diferencial de Hermite é auto-adjunto em
com peso
. Dessa forma, a ortogonalidade e as condições de contorno exigidas para uma base de polinômios estão garantidas.
Resposta
O intervalo de integração apropriado para o caso de Hermite é