Considere que as soluções das equações de Legendre, Chebyshev, Hermite e Laguerre são polinômios. Mostre que os intervalos de integração que garantem que as condições de contorno do operador hermitiano serão satisfeitas são
(c) Hermite (-\infty, \infty),

Passo 1

O problema pede para mostrar que, no caso da equação de Hermite, o operador diferencial associado é hermitiano quando tomamos o intervalo de integração (-\infty,\infty). Para isso vamos:
  1. Identificar a forma de Sturm–Liouville da equação de Hermite.
  2. Extrair as funções p(x) e w(x) (peso).
  3. Verificar que o termo de contorno
\Bigl[p(x)\bigl(f'(x)g(x)-f(x)g'(x)\bigr)\Bigr]_{-\infty}^{\infty}
se anula para polinômios de Hermite e, portanto, garante auto-adjointness.

Passo 2

A equação diferencial de Hermite écrita em forma padrão é
y''-2x\,y'+2n\,y=0.
Multiplicando por e^{-x^2} e reescrevendo, obtemos a forma de Sturm–Liouville
\bigl[e^{-x^2}\,y'(x)\bigr]'+2n\,e^{-x^2}\,y(x)=0.
Dessa forma, identificamos
p(x)=e^{-x^2}, \quad w(x)=e^{-x^2}, \quad \lambda=2n.

Passo 3

Para provar que o operador é hermitiano, consideramos dois polinômios de Hermite qualquer f(x) e g(x). O termo de contorno é
\Bigl[p(x)\bigl(f'(x)g(x)-f(x)g'(x)\bigr)\Bigr]_{-\infty}^{\infty} =\lim_{x\to\infty}e^{-x^2}\bigl(f'(x)g(x)-f(x)g'(x)\bigr) -\lim_{x\to-\infty}e^{-x^2}\bigl(f'(x)g(x)-f(x)g'(x)\bigr).
Como f e g são polinômios de grau finito, seus produtos com derivadas crescem no máximo como potência de x. Em contrapartida, e^{-x^2} decai muito mais rápido (gaussiana). Logo,
\lim_{x\to\pm\infty}e^{-x^2}\,( \text{polinômio em }x ) = 0.ô
Isso implica que o termo de contorno é zero quando o intervalo é (-\infty,\infty).

Passo 4

Como o termo de contorno se anula, o operador diferencial de Hermite é auto-adjunto em (-\infty,\infty) com peso w(x)=e^{-x^2}. Dessa forma, a ortogonalidade e as condições de contorno exigidas para uma base de polinômios estão garantidas.

Resposta

O intervalo de integração apropriado para o caso de Hermite é
(-\infty,\infty).

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