CEFET - Que fração de denominador 42 devemos somar à expressão 0,(3)-0,0(6)3-1 49 para obtermos 4 inteiros?

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
0,(3)-0,0(6)3 - 1tfrac49
e então descobrir que fração de denominador 42 devemos somar a esse valor para que o resultado seja um número inteiro.

Passo 2

Vamos primeiro converter as partes decimais em frações.
  1. 0,(3)=0333ldots=tfrac13.
  2. 0,0(6)=006666ldots. Chamando esse valor de x, temos
10x = 06666ldots = 23 Longrightarrow x = 23times110 = 115
Logo, o numerador da expressão é
0,(3)-0,0(6)=13-115 =5-115=415

Passo 3

Agora o denominador:
3 - 1tfrac49 =3 - l(1+49r) =2 - 49 =18-49=149

Passo 4

Dividindo numerador por denominador,
tfrac415tfrac149 =415times914 =36210 =635
Portanto a expressão vale tfrac635.

Passo 5

Procuramos uma fração f=k42 tal que
635+k42
seja inteiro. Colocando sobre o mesmo denominador 420:
635=72420, k42=10k420,
então
635+k42 =72+10k420
Para isso ser inteiro, é preciso
72+10kequiv 0pmod420
Mas gcd(10,420)=10 e 72equiv 2pmod10, logo 72+10kequiv 2pmod10 nunca é congruente a 0pmod10. Não há solução inteira para k.

Resposta

Não existe nenhuma fração de denominador 42 que somada a tfrac635 renda um número inteiro.

Exercícios de Livros Relacionados